関数解析の問題

巡回畳み込みとしての表示. $k$ を $[0,2\pi ]$ 上で $k(t)=t(2\pi -t)$ と定め、$2\pi$ 周期に拡張する。$t\in [-2\pi ,0]$ では $k(t)=k(t+2\pi )=(t+2\pi )(-t)=|t|(2\pi -|t|)$ だから、$x,y\in [0,2\pi ]$ に対し
$$|x-y|(2\pi -|x-y|)=k(x-y).$$
よって $T$ は円周 $\mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}$ 上の畳み込み作用素 $(Tf)(x)={\int }_0^{2\pi }k(x-y)f(y)dy$ である。$k$ は実数値かつ偶関数なので核は対称な実数値連続関数であり、$T$ はコンパクトな自己共役作用素である。

$e_n(x)=e^{inx}$ が固有関数であること. $n\in \mathbb{Z}$ に対し、$k$ の周期性から変数変換 $t=x-y$ が周期区間上で行えて
$$(T{e}_n)(x)={\int }_0^{2\pi }k(x-y)e^{iny}dy=e^{inx}{\int }_0^{2\pi }k(t)e^{-int}dt={\lambda }_n{e}_n(x),{\lambda }_n={\int }_0^{2\pi }k(t)e^{-int}dt.$$

${\lambda }_n$ の計算. $n=0$ のとき
$${\lambda }_0={\int }_0^{2\pi }(2\pi t-t^2)dt=4{\pi }^3-\frac{8{\pi }^3}{3}=\frac{4{\pi }^3}{3}.$$
$n\ne 0$ のとき、$k(0)=k(2\pi )=0$, $k^{\prime }(t)=2\pi -2t$, $k^{\prime \prime }=-2$ を用いて 2 回部分積分すると
$${\lambda }_n=\frac{1}{in}{\int }_0^{2\pi }{k}^{\prime }(t)e^{-int}dt=\frac{1}{in}\left({\left[\frac{k^{\prime }(t)e^{-int}}{-in}\right]}_0^{2\pi }+\frac{1}{in}{\int }_0^{2\pi }{k}^{\prime \prime }(t)e^{-int}dt\right).$$
ここで ${\int }_0^{2\pi }{e}^{-int}dt=0$、$k^{\prime }(2\pi )-k^{\prime }(0)=-2\pi -2\pi =-4\pi$ なので
$${\lambda }_n=\frac{1}{in}\cdot \frac{-4\pi }{-in}=\frac{4\pi }{(in{)}^2}=-\frac{4\pi }{n^2}.$$

スペクトル. $\{e_n/\sqrt{2\pi }{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$ は $L^2([0,2\pi ])$ の正規直交基底であり、$T$ はこの基底で対角化される。したがって $T$ の固有値は
$$\frac{4{\pi }^3}{3}(n=0),-\frac{4\pi }{n^2}(n=\pm 1,\pm 2,\dots )$$
ですべてであり、コンパクト作用素のスペクトルは固有値全体と $0$ からなるので
$$\sigma (T)=\left\{\frac{4{\pi }^3}{3}\right\}\cup \left\{-\frac{4\pi }{n^2}:n\ge 1\right\}\cup \{0\}.$$
負の固有値のうち最小なのは $n=\pm 1$ の $-4\pi$、最大値は $\frac{4{\pi }^3}{3}>0$ である。

（検算: トレース $\sum \lambda =\frac{4{\pi }^3}{3}-2{\sum }_{n\ge 1}\frac{4\pi }{n^2}=\frac{4{\pi }^3}{3}-8\pi \cdot \frac{{\pi }^2}{6}=0$ は、核の対角成分 $k(0)=0$ の積分 ${\int }_0^{2\pi }k(0)dx=0$ と一致する。）

答え: $\left(-4\pi ,\frac{4{\pi }^3}{3}\right)$

$x,y\in [0,2\pi ]$ のとき $d=|x-y|\in [0,2\pi ]$ で、$g(t)=t(2\pi -t)$ $(0\le t\le 2\pi )$ を周期 $2\pi$ に拡張した関数とすると、$x\ge y$ なら $g(x-y)=d(2\pi -d)$、$x<y$ なら $g(x-y)=g(2\pi -d)=(2\pi -d)d$ なので、核は $|x-y|(2\pi -|x-y|)=g(x-y)$ と一致する。よって $T$ は周期的畳み込み作用素で、$e_n(x)=e^{inx}$ $(n\in \mathbb{Z})$ が固有関数（完全正規直交系）であり、固有値は ${\lambda }_n={\int }_0^{2\pi }g(t)e^{-int}dt$ である。\n\n$n=0$: ${\lambda }_0={\int }_0^{2\pi }(2\pi t-t^2)dt=2\pi \cdot 2{\pi }^2-\frac{8{\pi }^3}{3}=\frac{4{\pi }^3}{3}$。\n\n$n\ne 0$: 部分積分を2回行うと、$g(0)=g(2\pi )=0$, $g^{\prime }(t)=2\pi -2t$, $g^{\prime \prime }=-2$ より\n${\lambda }_n=\int g{e}^{-int}dt={\left[g\frac{e^{-int}}{-in}\right]}_0^{2\pi }+\frac{1}{in}\int g^{\prime }{e}^{-int}dt=\frac{1}{in}\left({\left[g^{\prime }\frac{e^{-int}}{-in}\right]}_0^{2\pi }+\frac{1}{in}\int g^{\prime \prime }{e}^{-int}dt\right)$。\n境界項: $g^{\prime }(2\pi )-g^{\prime }(0)=-4\pi$ より ${\left[g^{\prime }\frac{e^{-int}}{-in}\right]}_0^{2\pi }=\frac{-4\pi }{-in}=\frac{4\pi }{in}$、$\int g^{\prime \prime }{e}^{-int}dt=-2\int e^{-int}dt=0$。よって ${\lambda }_n=\frac{1}{in}\cdot \frac{4\pi }{in}=-\frac{4\pi }{n^2}$。\n\n検算: $t(2\pi -t)=\frac{2{\pi }^2}{3}-4{\sum }_{n\ge 1}\frac{\cos nt}{n^2}$（$t=0$ で $\frac{2{\pi }^2}{3}-4\cdot \frac{{\pi }^2}{6}=0$ ✓）。$2\pi \times$ 係数から ${\lambda }_0=\frac{4{\pi }^3}{3}$、${\lambda }_n=2\pi \cdot (-\frac{2}{n^2})=-\frac{4\pi }{n^2}$ で一致。\n\nスペクトルは固有値の閉包 $\sigma (T)=\{\frac{4{\pi }^3}{3}\}\cup \{-\frac{4\pi }{n^2}:n\ge 1\}\cup \{0\}$。最小値は $n=\pm 1$ の $-4\pi$、最大値は $\frac{4{\pi }^3}{3}$（$\approx 41.3$）。