正規直交基底とパーセバルの等式

ヒルベルト空間の正規直交基底による展開とパーセバルの等式を使い、フーリエ級数を抽象的に扱える

前提

ヒルベルト空間と射影定理（大学院数学関数解析）
パーセバルの等式と級数の和（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

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算数中学高校大学大学院

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パーセバルの等式と級数の和（大学数学フーリエ解析・ラプラス変換）

説明

ヒルベルト空間 $H$ の正規直交基底 ${e_{n}}$ を使うと、どの元 $x$ も係数 $⟨ x, e_{n} ⟩$ の列で表せます。さらにノルムや内積を、この係数列から $∥ x ∥^{2} = \sum ∣ ⟨ x, e_{n} ⟩ ∣^{2}$ のように計算できます。これがパーセバルの等式です。三角関数に限らず、どんな正規直交基底による展開（一般化されたフーリエ級数）も同じ枠組みで扱えます。積分と級数を互いに書き換えて級数の和を求める場面や、閉部分空間までの距離を求める場面で使います。

なぜそうしてよいのか

内積は第 1 変数について線形、第 2 変数について共役線形とします。ここでは可算個の元からなる正規直交系 ${e_{n}}_{n \geq 1}$ （ $⟨ e_{m}, e_{n} ⟩ = δ_{mn}$ ）を考えます。有限個の $e_{1}, \dots, e_{N}$ が張る部分空間への直交射影は $P_{N} x = \sum_{n = 1}^{N} ⟨ x, e_{n} ⟩ e_{n}$ です。 $x - P_{N} x$ は $e_{1}, \dots, e_{N}$ のどれとも直交するので、三平方の定理から次が成り立ちます。 $∥ x ∥^{2} = n = 1 \sum N ∣ ⟨ x, e_{n} ⟩ ∣^{2} + ∥ x - P_{N} x ∥^{2}$ ここで $N \to \infty$ とすると $\sum_{n = 1}^{\infty} ∣ ⟨ x, e_{n} ⟩ ∣^{2} \leq ∥ x ∥^{2}$ です。これをベッセルの不等式といいます。

この不等式から、 $M < N$ のとき $∥ P_{N} x - P_{M} x ∥^{2} = \sum_{n = M + 1}^{N} ∣ ⟨ x, e_{n} ⟩ ∣^{2} \to 0$ となります。つまり部分和 $P_{N} x$ はコーシー列です。 $H$ は完備なので、極限 $y = \sum_{n = 1}^{\infty} ⟨ x, e_{n} ⟩ e_{n}$ がノルムの意味で存在します。内積の連続性から、すべての $n$ で $⟨ x - y, e_{n} ⟩ = 0$ です。

正規直交系 ${e_{n}}$ が完全であるとは、『すべての $e_{n}$ と直交する元は $0$ だけ』であることをいいます。これは『 ${e_{n}}$ の有限一次結合全体の閉包が $H$ 』と同値です。完全な正規直交系を正規直交基底と呼びます。正規直交基底なら $x - y = 0$ 、つまり $x = \sum ⟨ x, e_{n} ⟩ e_{n}$ です。このとき上の等式で $∥ x - P_{N} x ∥ \to 0$ となるので、 $∥ x ∥^{2} = \sum ∣ ⟨ x, e_{n} ⟩ ∣^{2}$ が得られます。これがパーセバルの等式です。逆に、すべての $x$ でパーセバルの等式が成り立てば、すべての $e_{n}$ と直交する $x$ は $∥ x ∥ = 0$ となり、系は完全です。

$x, y$ の部分和どうしの内積 $⟨ P_{N} x, P_{N} y ⟩ = \sum_{n \leq N} ⟨ x, e_{n} ⟩ ⟨ y, e_{n} ⟩$ で $N \to \infty$ とすると、一般化されたパーセバルの等式 $⟨ x, y ⟩ = \sum_{n} ⟨ x, e_{n} ⟩ ⟨ y, e_{n} ⟩$ が得られます。展開はノルム収束の意味の無限和で、代数的な基底（有限一次結合）とは別物です。また、 $\sum ∣ c_{n} ∣^{2} < \infty$ を満たす任意の数列 $(c_{n})$ に対して、 $\sum c_{n} e_{n}$ は $H$ の元として収束します。

手順

正規直交基底であることを確かめる： $⟨ e_{m}, e_{n} ⟩ = δ_{mn}$ （正規化 $∥ e_{n} ∥ = 1$ を含む）と完全性を確認する。完全性は既知の事実として引用してもよい。
係数を計算する： $c_{n} = ⟨ x, e_{n} ⟩$ を求める。必要なら $d_{n} = ⟨ y, e_{n} ⟩$ も求める。
展開を書く： $x = \sum_{n} c_{n} e_{n}$ （ノルム収束の意味）。
パーセバルの等式を適用する： $∥ x ∥^{2} = \sum_{n} ∣ c_{n} ∣^{2}$ 、または $⟨ x, y ⟩ = \sum_{n} c_{n} d_{n}$ 。
左辺のノルムや内積（積分など）を直接計算し、右辺の級数と等置して目的の値を求める。

例題

$L^{2} (0, π)$ （実数値、内積 $⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{π} f (x) g (x) d x$ ）において、 $φ_{n} (x) = 2/ π sin n x (n = 1, 2, \dots)$ は正規直交基底であることが知られている。 $f (x) = 1$ , $g (x) = x$ に一般化されたパーセバルの等式を適用して、 $k = 0 \sum \infty \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{2}}$ を求めよ。

例題の解答

手順1： ${φ_{n}}$ が正規直交基底であることは問題文で与えられている。正規化は $\int_{0}^{π} \frac{2}{π} sin^{2} n x d x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{2} = 1$ で確認できる。

手順2： $\int_{0}^{π} sin n x d x = \frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{n}$ より、 $c_{n} = ⟨ f, φ_{n} ⟩ = \frac{2}{π} \cdot \frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{n}$ である。また部分積分により $\int_{0}^{π} x sin n x d x = [- \frac{x cos n x}{n}]_{0}^{π} + \frac{1}{n} \int_{0}^{π} cos n x d x = \frac{π ( - 1 ) ^{n + 1}}{n}$ となる（最後の積分は $0$ ）。よって $d_{n} = ⟨ g, φ_{n} ⟩ = \frac{2}{π} \cdot \frac{π ( - 1 ) ^{n + 1}}{n}$ である。

手順3： $f = \sum c_{n} φ_{n}$ 、 $g = \sum d_{n} φ_{n}$ と展開できる（ $L^{2}$ 収束）。

手順4：実数値なので共役は不要で、 $⟨ f, g ⟩ = n = 1 \sum \infty c_{n} d_{n} = n = 1 \sum \infty \frac{2 ( 1 - ( - 1 ) ^{n} ) ( - 1 ) ^{n + 1}}{n ^{2}}$ となる。 $n$ が偶数なら項は $0$ である。 $n$ が奇数なら $1 - (- 1)^{n} = 2$ 、 $(- 1)^{n + 1} = 1$ なので、項は $\frac{4}{n ^{2}}$ である。よって $⟨ f, g ⟩ = 4 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{2}}$ となる。

手順5：左辺を直接計算すると $⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{π} x d x = \frac{π ^{2}}{2}$ である。したがって $4 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{2}} = \frac{π ^{2}}{2}$ より、 $\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{( 2 k + 1 ) ^{2}} = \frac{π ^{2}}{8}$ である。

答え: $\frac{π ^{2}}{8}$

よくある誤り

正規化していない直交系の係数を、そのままパーセバルの等式に入れてしまう誤り。例えば $L^{2} (0, π)$ で $∥ f ∥^{2} = \sum ∣ ⟨ f, sin n x ⟩ ∣^{2}$ とするのは誤りです。 $∥ sin n x ∥^{2} = π /2$ なので、正しくは $∥ f ∥^{2} = \frac{2}{π} \sum ∣ ⟨ f, sin n x ⟩ ∣^{2}$ です。一般に、完全な直交系 ${u_{n}}$ （ $u_{n} \neq = 0$ ）に対しては $∥ f ∥^{2} = \sum_{n} \frac{∣ ⟨ f , u _{n} ⟩ ∣ ^{2}}{∥ u _{n} ∥ ^{2}}$ です。
完全でない正規直交系にもパーセバルの等式が成り立つとしてしまう誤り。例えば $L^{2} (- π, π)$ で ${sin n x / π}_{n \geq 1}$ だけを使うと、 $f = 1$ の係数はすべて $0$ ですが、 $∥1 ∥^{2} = 2 π \neq = 0$ です。完全性がない場合に成り立つのは、ベッセルの不等式 $\sum ∣ ⟨ x, e_{n} ⟩ ∣^{2} \leq ∥ x ∥^{2}$ だけです。
複素ヒルベルト空間で共役を落とし、 $⟨ x, y ⟩ = \sum ⟨ x, e_{n} ⟩ ⟨ y, e_{n} ⟩$ としてしまう誤り。正しくは $⟨ x, y ⟩ = \sum ⟨ x, e_{n} ⟩ ⟨ y, e_{n} ⟩$ です。特に $∥ x ∥^{2} = \sum ∣ ⟨ x, e_{n} ⟩ ∣^{2}$ は絶対値の 2 乗の和で、 $\sum ⟨ x, e_{n} ⟩^{2}$ ではありません。
展開 $f = \sum c_{n} e_{n}$ を各点での等式と思ってしまう誤り。例えば $(0, π)$ 上の定数関数 $1$ の正弦展開 $\sum_{n} \frac{2 ( 1 - ( - 1 ) ^{n} )}{π n} sin n x$ は、端点 $x = 0$ では $0$ となり、 $1$ と一致しません。正しくは $f - \sum_{n \leq N} c_{n} e_{n} \to 0$ というノルム（ $L^{2}$ ）収束の意味の等式です。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

自己共役作用素と固有関数展開（大学院数学関数解析）
複素フーリエ級数と内積型のパーセバルの等式（大学院数学フーリエ解析）