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関数解析の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学関数解析

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^{2} (0, π)$ に内積 $⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{π} f (x) g (x) d x$ を入れる。作用素 $A$ を
$A u = - u^{''}, D (A) = {u \in H^{2} (0, π) ∣ u (0) = u (π) = 0}$
で定める。 $A$ は自己共役作用素である。 $u \in D (A)$ を境界値問題
$- u^{''} (x) = 1 (0 < x < π), u (0) = u (π) = 0$
の解とする。 $A$ の固有関数による展開を用いて $⟨ u, 1 ⟩$ を級数で表し、 $u$ を直接求めて計算した $⟨ u, 1 ⟩$ の値と比べることで、級数
$S = k = 1 \sum \infty \frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{4}}$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

境界値問題と固有値（説明と入口の問題）
自己共役作用素と固有関数展開（説明と入口の問題）
正規直交基底とパーセバルの等式（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（112 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「自己共役作用素と固有関数展開」を使う。まず $A$ の固有値と正規化した固有関数を求め、 $u$ と $f = 1$ をそれぞれ固有関数で展開することを考える。

ヒント 2

自己共役性から $⟨ A u, φ_{n} ⟩ = ⟨ u, A φ_{n} ⟩$ が成り立つので、 $⟨ u, φ_{n} ⟩ = ⟨ f, φ_{n} ⟩ / λ_{n}$ となる。これをパーセバルの等式 $⟨ u, f ⟩ = \sum ⟨ u, φ_{n} ⟩ ⟨ f, φ_{n} ⟩$ に代入する。

ヒント 3

固有関数は $φ_{n} = 2/ π sin n x$ 、固有値は $λ_{n} = n^{2}$ である。 $⟨ 1, φ_{n} ⟩$ は $n$ が奇数のとき $2/ π \cdot 2/ n$ 、偶数のとき $0$ である。一方、直接解くと $u (x) = x (π - x) /2$ となる。

答えと解説

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\frac{π ^{4}}{96}

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解説を読む

手順 1（固有値問題を解く） $A u = λ u$ 、つまり $u^{''} + λ u = 0, u (0) = u (π) = 0$ が $0$ でない解をもつのは $λ = n^{2} (n = 1, 2, 3, \dots)$ のときで、固有関数は $sin n x$ である。正規化すると
$φ_{n} (x) = \frac{2}{π} sin n x (\int_{0}^{π} sin^{2} n x d x = \frac{π}{2})$
となる。 ${φ_{n}}_{n \geq 1}$ は $L^{2} (0, π)$ の正規直交基底である。

手順 2（展開係数を求める） $f = 1$ とおく。 $A u = f$ と $φ_{n}$ の内積をとる。 $A$ は自己共役で固有値 $n^{2}$ は実数なので
$⟨ f, φ_{n} ⟩ = ⟨ A u, φ_{n} ⟩ = ⟨ u, A φ_{n} ⟩ = n^{2} ⟨ u, φ_{n} ⟩$
となり、 $⟨ u, φ_{n} ⟩ = \frac{⟨ f , φ _{n} ⟩}{n ^{2}}$ を得る。

手順 3（パーセバルの等式） 正規直交基底による展開から
$⟨ u, f ⟩ = n = 1 \sum \infty ⟨ u, φ_{n} ⟩ ⟨ f, φ_{n} ⟩ = n = 1 \sum \infty \frac{∣ ⟨ f , φ _{n} ⟩ ∣ ^{2}}{n ^{2}} .$
ここで
$⟨ 1, φ_{n} ⟩ = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} sin n x d x = \frac{2}{π} \cdot \frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{n}$
である。これは $n$ が偶数のとき $0$ 、奇数のとき $\frac{2}{π} \cdot \frac{2}{n}$ なので、 $∣ ⟨ 1, φ_{n} ⟩ ∣^{2} = \frac{8}{π n ^{2}}$ （ $n$ は奇数）となる。よって
$⟨ u, 1 ⟩ = \frac{8}{π} k = 1 \sum \infty \frac{1}{( 2 k - 1 ) ^{4}} = \frac{8}{π} S .$

手順 4（直接計算する） $- u^{''} = 1$ を 2 回積分し、境界条件 $u (0) = u (π) = 0$ を使うと $u (x) = \frac{x ( π - x )}{2}$ である（実際 $u^{''} = - 1$ ）。したがって
$⟨ u, 1 ⟩ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} (π x - x^{2}) d x = \frac{1}{2} (\frac{π ^{3}}{2} - \frac{π ^{3}}{3}) = \frac{π ^{3}}{12} .$

手順 5（比較する） $\frac{8}{π} S = \frac{π ^{3}}{12}$ より
$S = \frac{π ^{4}}{96} .$

別解

$A$ の正規直交固有系は $e_{n} (x) = 2/ π sin n x$ （固有値 $n^{2}$ 、 $n = 1, 2, \dots$ ）である。

$⟨ 1, e_{n} ⟩ = 2/ π \int_{0}^{π} sin n x d x = 2/ π \frac{1 - ( - 1 ) ^{n}}{n}$ 。したがって $n$ が偶数なら $0$ 、奇数なら $2 2/ π / n$ となる。

$A u = 1$ より $⟨ u, e_{n} ⟩ = ⟨ 1, e_{n} ⟩ / n^{2}$ である（ $A$ が自己共役なので $⟨ A u, e_{n} ⟩ = n^{2} ⟨ u, e_{n} ⟩$ ）。Parseval の等式から
$⟨ u, 1 ⟩ = n \sum ⟨ u, e_{n} ⟩ ⟨ 1, e_{n} ⟩ = n \sum \frac{∣ ⟨ 1 , e _{n} ⟩ ∣ ^{2}}{n ^{2}} = n 奇数 \sum \frac{8}{π n ^{4}} = \frac{8}{π} S .$

一方、境界値問題を直接解くと $u = x (π - x) /2$ である。よって
$⟨ u, 1 ⟩ = \frac{1}{2} (\frac{π ^{3}}{2} - \frac{π ^{3}}{3}) = \frac{π ^{3}}{12} .$

両者を等置すると $\frac{8}{π} S = \frac{π ^{3}}{12}$ より $S = \frac{π ^{4}}{96}$ 。

検算： $S \approx 1 + 1/81 + 1/625 + 1/2401 + \dots \approx 1.0147$ 、 $π^{4} /96 \approx 97.409/96 \approx 1.01468$ で一致する。

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