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関数解析の問題

難易度 1大学院の講義の例題レベル大学院数学関数解析

複素ヒルベルト空間 $L^{2} ([0, π])$ （内積 $⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{π} f (x) g (x) d x$ ）において、作用素 $L$ を次で定める。
$Lu = - u^{''}, D (L) = {u \in H^{2} (0, π) : u^{'} (0) = 0, u (π) = 0} .$
$L$ は自己共役作用素であり、その固有関数全体は $L^{2} ([0, π])$ の完全正規直交系をなす。関数
$f (x) = 3 cos \frac{x}{2} + 5 cos \frac{3 x}{2}$
に対して、方程式 $Lu - u = f$ の解 $u \in D (L)$ はただ 1 つ存在する。 $L$ の固有関数展開を用いてこの解 $u$ を求め、値 $u (\frac{2 π}{3})$ を求めよ。

この問題で使うもの

自己共役作用素と固有関数展開（説明と入口の問題）
境界値問題と固有値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（112 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

自己共役作用素 $L$ の固有関数展開を使う。まず境界条件 $u^{'} (0) = 0, u (π) = 0$ のもとで $- φ^{''} = λ φ$ を解き、固有値と固有関数を求めよう。

ヒント 2

固有関数は $cos (n - \frac{1}{2}) x$ 、固有値は $(n - \frac{1}{2})^{2}$ である。 $u = \sum c_{n} φ_{n}$ とおくと、 $(L - 1) u$ の係数は $(λ_{n} - 1) c_{n}$ になる。

ヒント 3

$f$ は $n = 1, 2$ の固有関数だけでできている。 $λ_{1} - 1 = - \frac{3}{4}$ 、 $λ_{2} - 1 = \frac{5}{4}$ で係数を割ると、 $u (x) = a cos \frac{x}{2} + b cos \frac{3 x}{2}$ の形になる。

答えと解説

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- 6

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解説を読む

手順 1： $L$ の固有値・固有関数を求める。
$u \in D (L)$ に対し部分積分すると、境界条件 $u^{'} (0) = 0, u (π) = 0$ より境界項 $[- u^{'} u]_{0}^{π}$ が消えて
$⟨ Lu, u ⟩ = \int_{0}^{π} ∣ u^{'} (x) ∣^{2} d x \geq 0$
となる。 $⟨ Lu, u ⟩ = 0$ なら $u$ は定数で、 $u (π) = 0$ から $u = 0$ である。したがって固有値 $λ$ は正なので、 $λ = k^{2} (k > 0)$ とおく。

$- φ^{''} = k^{2} φ$ の一般解は $φ = A cos k x + B sin k x$ である。 $φ^{'} (0) = k B = 0$ より $B = 0$ となる。さらに $φ (π) = A cos k π = 0$ と $A \neq = 0$ から $k = n - \frac{1}{2} (n = 1, 2, \dots)$ を得る。よって
$λ_{n} = (n - \frac{1}{2})^{2}, φ_{n} (x) = \frac{2}{π} cos (n - \frac{1}{2}) x (n = 1, 2, \dots)$
であり、 $λ_{1} = \frac{1}{4}, λ_{2} = \frac{9}{4}, λ_{3} = \frac{25}{4}, \dots$ となる。

手順 2： $f$ を固有関数で展開する。
$f = 3 \frac{π}{2} φ_{1} + 5 \frac{π}{2} φ_{2}$ であり、 $f$ はすでに固有関数展開された形になっている。

手順 3： $L - 1$ を各固有空間で割り算する。
$u = \sum_{n} c_{n} φ_{n}$ とおくと $(L - 1) u = \sum_{n} (λ_{n} - 1) c_{n} φ_{n}$ である。 $1$ はどの $λ_{n}$ とも異なるので $L - 1$ は単射で、係数を比較すれば解はただ 1 つに決まる。
$c_{1} = \frac{3 π /2}{\frac{1}{4} - 1} = - 4 \frac{π}{2}, c_{2} = \frac{5 π /2}{\frac{9}{4} - 1} = 4 \frac{π}{2}, c_{n} = 0 (n \geq 3) .$
したがって
$u (x) = - 4 cos \frac{x}{2} + 4 cos \frac{3 x}{2}$
である。

検算： $u^{'} (0) = 0$ 、 $u (π) = - 4 cos \frac{π}{2} + 4 cos \frac{3 π}{2} = 0$ より $u \in D (L)$ である。また $cos \frac{x}{2}, cos \frac{3 x}{2}$ にそれぞれ $- \frac{d ^{2}}{d x ^{2}}$ を作用させると $\frac{1}{4}$ 倍、 $\frac{9}{4}$ 倍になるので
$- u^{''} - u = (\frac{1}{4} - 1) (- 4) cos \frac{x}{2} + (\frac{9}{4} - 1) \cdot 4 cos \frac{3 x}{2} = 3 cos \frac{x}{2} + 5 cos \frac{3 x}{2} = f$
となり、確かに解である。

手順 4：値を求める。
$u (\frac{2 π}{3}) = - 4 cos \frac{π}{3} + 4 cos π = - 4 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot (- 1) = - 6.$

別解

境界条件 $u^{'} (0) = 0, u (π) = 0$ のもとで $- u^{''} = λ u$ を解くと、 $u = cos (k x)$ （ $λ = k^{2}$ ）で、 $u (π) = cos (k π) = 0$ より $k = n + \frac{1}{2}$ （ $n = 0, 1, 2, \dots$ ）となる。固有値は $(n + \frac{1}{2})^{2}$ 、固有関数は $cos ((n + \frac{1}{2}) x)$ である。

$f = 3 cos \frac{x}{2} + 5 cos \frac{3 x}{2}$ は固有値 $\frac{1}{4}$ と $\frac{9}{4}$ の固有関数の和である。方程式 $(L - 1) u = f$ を固有関数展開で解くと、各係数を $(λ - 1)$ で割ればよい。

$u = \frac{3}{\frac{1}{4} - 1} cos \frac{x}{2} + \frac{5}{\frac{9}{4} - 1} cos \frac{3 x}{2} = - 4 cos \frac{x}{2} + 4 cos \frac{3 x}{2}$ 。

検算： $(L - 1) cos \frac{x}{2} = (\frac{1}{4} - 1) cos \frac{x}{2} = - \frac{3}{4} cos \frac{x}{2}$ なので、 $- 4 \cdot (- \frac{3}{4}) = 3$ となり一致する。 $cos \frac{3 x}{2}$ についても $4 \cdot \frac{5}{4} = 5$ で一致する。また $u^{'} (0) = 0$ 、 $u (π) = - 4 cos \frac{π}{2} + 4 cos \frac{3 π}{2} = 0$ を満たす。

$x = \frac{2 π}{3}$ では、 $cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$ 、 $cos π = - 1$ なので
$u (\frac{2 π}{3}) = - 4 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot (- 1) = - 2 - 4 = - 6$ 。

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