関数解析の問題

実ヒルベルト空間 $L^2([0,\pi ])$（ルベーグ測度に関する 2 乗可積分な実数値関数全体。内積は $⟨f,g⟩={\int }_0^{\pi }f(x)g(x)dx$）において、関数系
$$e_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin nx(n=1,2,3,\dots )$$
は正規直交基底であることが知られている。この事実と関数 $f(x)=x(\pi -x)$ に対するパーセバルの等式を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^6}$$
の値を求めよ。

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ を、内積 $$⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx,\Vert f\Vert =\sqrt{⟨f,f⟩}$$ で考える。部分空間 $$M=\left\{g\in L^2([0,1]):{\int }_0^{1}xg(x)dx=0\right\}$$ をとり、定数関数 $f(x)=1$ とする。$f$ と $M$ との距離 $$d=\underset{g\in M}{\inf }\Vert f-g\Vert$$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2(0,\pi )$ に内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{\pi }f(x)\overline{g(x)}dx$ を入れる。作用素 $A$ を
$$Au=-u^{\prime \prime },D(A)=\{u\in H^2(0,\pi )\mid u(0)=u(\pi )=0\}$$
で定める。$A$ は自己共役作用素である。$u\in D(A)$ を境界値問題
$$-u^{\prime \prime }(x)=1(0<x<\pi ),u(0)=u(\pi )=0$$
の解とする。$A$ の固有関数による展開を用いて $⟨u,1⟩$ を級数で表し、$u$ を直接求めて計算した $⟨u,1⟩$ の値と比べることで、級数
$$S=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^4}$$
の値を求めよ。

$n=1,2,3,\dots$ を添字とする実数列 $x=(x_n{)}_{n\ge 1}$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^{3/2}<\infty$ を満たすもの全体のなす実バナッハ空間を ${\ell }^{3/2}$ とし、ノルムを
$$\Vert x{\Vert }_{3/2}={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^{3/2}\right)}^{2/3}$$
で定める。線形汎関数 $\phi :{\ell }^{3/2}\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}$$
で定めるとき、作用素ノルム $\Vert \phi \Vert ={\sup }_{x\ne 0}\frac{|\phi (x)|}{\Vert x{\Vert }_{3/2}}$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ を、内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$ で考える。部分空間
$$M=\left\{f\in L^2([0,1]):{\int }_0^{1}xf(x)dx=0\right\}$$
を考える。$f$ が $M$ 全体を動くときの
$${\int }_0^1{\left(e^x-f(x)\right)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。