関数解析の問題

実数列 $x=(x_n{)}_{n\ge 1}$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^3<\infty$ をみたすもの全体のなす実バナッハ空間 ${\ell }^3$ に、ノルム $$\Vert x{\Vert }_3={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^3\right)}^{1/3}$$ を入れる。線形汎関数 $\phi :{\ell }^3\to \mathbb{R}$ を $$\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{4^n}$$ で定める。$\phi$ の作用素ノルム $$\Vert \phi \Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{|\phi (x)|}{\Vert x{\Vert }_3}$$ を求めよ。

$C[0,1]$ を閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間とし、ノルムを $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le t\le 1}|f(t)|$ で定める。汎関数 $\phi :C[0,1]\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (f)={\int }_0^{1}f(t)dt-2f\left(\frac{1}{2}\right)$$
で定める。$\phi$ は $C[0,1]$ 上の有界線形汎関数であり、その作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in C[0,1],\Vert f{\Vert }_{\infty }\le 1\}$$
が $\Vert \phi \Vert =3$ を満たすことを証明せよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$ を内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n\overline{y_n}$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。閉部分空間
$$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}=0\right\}$$
と、$u_n=\frac{1}{n}(n=1,2,3,\dots )$ で定まるベクトル $u=(u_n{)}_{n\ge 1}\in {\ell }^2$ をとる。$u$ と $M$ との距離 $d=\underset{x\in M}{\inf }\Vert u-x\Vert$ を求めよ。

実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ を考える。内積はルベーグ測度に関して $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$ で定める。関数族
$$e_n(x)=\sqrt{2}\sin (n\pi x)(n=1,2,3,\dots )$$
は $L^2([0,1])$ の正規直交基底であることが知られている。$f(x)=x(1-x)$ とするとき、級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }⟨f,e_n{⟩}^2$$
の値を求めよ。

実ヒルベルト空間 $${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{R},\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^2<\infty \right\}$$ を、内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n{y}_n$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。部分空間 $M$ を $$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}=0,x_1=x_2\right\}$$ で定め、$e_1=(1,0,0,\dots )$ とする。$e_1$ と $M$ との距離 $$d=\underset{y\in M}{\inf }\Vert e_1-y\Vert$$ について、$d^2$ の値を求めよ。