双対空間と汎関数のノルム

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ を、内積 $$⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx,\Vert f\Vert =\sqrt{⟨f,f⟩}$$ で考える。部分空間 $$M=\left\{g\in L^2([0,1]):{\int }_0^{1}xg(x)dx=0\right\}$$ をとり、定数関数 $f(x)=1$ とする。$f$ と $M$ との距離 $$d=\underset{g\in M}{\inf }\Vert f-g\Vert$$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ を、内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$ で考える。部分空間
$$M=\left\{f\in L^2([0,1]):{\int }_0^{1}xf(x)dx=0\right\}$$
を考える。$f$ が $M$ 全体を動くときの
$${\int }_0^1{\left(e^x-f(x)\right)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

実数列 $x=(x_n{)}_{n\ge 1}$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^3<\infty$ をみたすもの全体のなす実バナッハ空間 ${\ell }^3$ に、ノルム $$\Vert x{\Vert }_3={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^3\right)}^{1/3}$$ を入れる。線形汎関数 $\phi :{\ell }^3\to \mathbb{R}$ を $$\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{4^n}$$ で定める。$\phi$ の作用素ノルム $$\Vert \phi \Vert =\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{|\phi (x)|}{\Vert x{\Vert }_3}$$ を求めよ。

$n=1,2,3,\dots$ を添字とする実数列 $x=(x_n{)}_{n\ge 1}$ で ${\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^{3/2}<\infty$ を満たすもの全体のなす実バナッハ空間を ${\ell }^{3/2}$ とし、ノルムを
$$\Vert x{\Vert }_{3/2}={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^{3/2}\right)}^{2/3}$$
で定める。線形汎関数 $\phi :{\ell }^{3/2}\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}$$
で定めるとき、作用素ノルム $\Vert \phi \Vert ={\sup }_{x\ne 0}\frac{|\phi (x)|}{\Vert x{\Vert }_{3/2}}$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する実バナッハ空間 $L^3([0,1])$（ノルムは $\Vert f{\Vert }_3={\left({\int }_0^1|f(x){|}^{3}dx\right)}^{1/3}$）上の線形汎関数 $\phi$ を
$$\phi (f)={\int }_0^{1}xf(x)dx(f\in L^3([0,1]))$$
で定める。$\phi$ は有界であり、双対空間 $L^3([0,1]{)}^{\ast }$ の元である。その作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in L^3([0,1]),\Vert f{\Vert }_3\le 1\}$$
の値を求めよ。

$[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間 $C([0,1])$ を、上限ノルム $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le x\le 1}|f(x)|$ で考える。線形汎関数 $\phi :C([0,1])\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (f)={\int }_0^1(4x-1)f(x)dx+f(0)$$
で定める。$\phi$ の双対ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in C([0,1]),\Vert f{\Vert }_{\infty }\le 1\}$$
の値を求めよ。

$C[0,1]$ を閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間とし、ノルムを $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le t\le 1}|f(t)|$ で定める。汎関数 $\phi :C[0,1]\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (f)={\int }_0^{1}f(t)dt-2f\left(\frac{1}{2}\right)$$
で定める。$\phi$ は $C[0,1]$ 上の有界線形汎関数であり、その作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in C[0,1],\Vert f{\Vert }_{\infty }\le 1\}$$
が $\Vert \phi \Vert =3$ を満たすことを証明せよ。

閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間 $C([0,1])$ に、上限ノルム $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le x\le 1}|f(x)|$ を入れる。線形汎関数 $\phi :C([0,1])\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (f)={\int }_0^1(3x^2-1)f(x)dx-2f\left(\frac{1}{2}\right)(f\in C([0,1]))$$
で定める（積分はリーマン積分）。$\phi$ は有界であり、双対空間 $C([0,1]{)}^{\ast }$ の元である。その作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in C([0,1]),\Vert f{\Vert }_{\infty }\le 1\}$$
の値を求めよ。

区間 $[0,1]$ 上のルベーグ測度に関する実バナッハ空間 $L^1([0,1])$ を、ノルム $\Vert f{\Vert }_1={\int }_0^1|f(x)|dx$ で考える。$1$ 次以下の多項式全体のなす部分空間を $M=\{a+bx:a,b\in \mathbb{R}\}$ とする。$M$ は有限次元なので閉部分空間である。商空間 $L^1([0,1])/M$ に商ノルム
$$\Vert [f]\Vert =\underset{p\in M}{\inf }\Vert f-p{\Vert }_1$$
を入れる。$f(x)=x^3$ の同値類 $[f]$ について、商ノルム $\Vert [f]\Vert$ の値を求めよ。

次数が $3$ 以下の実係数多項式全体のなす実ベクトル空間を ${\mathcal{P}}_3$ とし、上限ノルム
$$\Vert p\Vert =\underset{-1\le x\le 1}{\max }|p(x)|(p\in {\mathcal{P}}_3)$$
を入れて実ノルム空間とみなす。線形汎関数 $\phi :{\mathcal{P}}_3\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (p)=p(2)(p\in {\mathcal{P}}_3)$$
で定める。$\phi$ の双対空間 ${\mathcal{P}}_3^{\ast }$ における作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\underset{p\in {\mathcal{P}}_3,\Vert p\Vert \le 1}{\sup }|\phi (p)|$$
の値を求めよ。