関数解析の問題

閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間 $C([0,1])$ に、上限ノルム $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le x\le 1}|f(x)|$ を入れる。線形汎関数 $\phi :C([0,1])\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (f)={\int }_0^1(3x^2-1)f(x)dx-2f\left(\frac{1}{2}\right)(f\in C([0,1]))$$
で定める（積分はリーマン積分）。$\phi$ は有界であり、双対空間 $C([0,1]{)}^{\ast }$ の元である。その作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in C([0,1]),\Vert f{\Vert }_{\infty }\le 1\}$$
の値を求めよ。

$[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間 $C([0,1])$ を、上限ノルム $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le x\le 1}|f(x)|$ で考える。線形汎関数 $\phi :C([0,1])\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (f)={\int }_0^1(4x-1)f(x)dx+f(0)$$
で定める。$\phi$ の双対ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in C([0,1]),\Vert f{\Vert }_{\infty }\le 1\}$$
の値を求めよ。

$C[0,1]$ を閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間とし、ノルムを $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le t\le 1}|f(t)|$ で定める。汎関数 $\phi :C[0,1]\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (f)={\int }_0^{1}f(t)dt-2f\left(\frac{1}{2}\right)$$
で定める。$\phi$ は $C[0,1]$ 上の有界線形汎関数であり、その作用素ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in C[0,1],\Vert f{\Vert }_{\infty }\le 1\}$$
が $\Vert \phi \Vert =3$ を満たすことを証明せよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ 上の積分作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)={\int }_0^1(x+y)f(y)dy(f\in L^2([0,1]),x\in [0,1])$$
で定める。$T$ の作用素ノルム $\Vert T\Vert$ を求めよ。

ルベーグ測度に関する複素ヒルベルト空間 $L^2([0,2])$ 上の作用素 $T$ を
$$(Tf)(x)=(x^2-x)f(x)(f\in L^2([0,2]),x\in [0,2])$$
で定める。$T$ のスペクトル $\sigma (T)=\{\lambda \in \mathbb{C}\mid T-\lambda I\text{が有界な逆作用素をもたない}\}$ を求めよ。