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関数解析の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学関数解析

$[0, 1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間 $C ([0, 1])$ を、上限ノルム $∥ f ∥_{\infty} = max_{0 \leq x \leq 1} ∣ f (x) ∣$ で考える。線形汎関数 $φ : C ([0, 1]) \to R$ を
$φ (f) = \int_{0}^{1} (4 x - 1) f (x) d x + f (0)$
で定める。 $φ$ の双対ノルム
$∥ φ ∥ = sup {∣ φ (f) ∣ : f \in C ([0, 1]), ∥ f ∥_{\infty} \leq 1}$
の値を求めよ。

この問題で使うもの

双対空間と汎関数のノルム（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）
関数の極限（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（74 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$φ$ は「密度 $4 x - 1$ の部分」と「 $x = 0$ での点評価」の和である。それぞれの寄与の絶対値の和で上から評価してみよう。

ヒント 2

上界は $\int_{0}^{1} ∣4 x - 1∣ d x + 1$ 。下からは、 $f$ を $sgn (4 x - 1)$ に近づけつつ $f (0) = 1$ にする連続関数の列を作る。

ヒント 3

$\int_{0}^{1} ∣4 x - 1∣ d x$ を $x = \frac{1}{4}$ で分けて計算する。 $f (0) = 1$ と $x$ が小さいところでの $f \approx - 1$ は、幅 $ε$ の区間で線形につなげば両立し、誤差は $O (ε)$ になる。

答えと解説

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\frac{9}{4}

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解説を読む

上からの評価. $∥ f ∥_{\infty} \leq 1$ なら
$∣ φ (f) ∣ \leq \int_{0}^{1} ∣4 x - 1∣ d x + ∣ f (0) ∣ \leq \int_{0}^{1} ∣4 x - 1∣ d x + 1.$
ここで $4 x - 1$ は $x = \frac{1}{4}$ で符号を変えるので
$\int_{0}^{1/4} (1 - 4 x) d x = [x - 2 x^{2}]_{0}^{1/4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8}, \int_{1/4}^{1} (4 x - 1) d x = [2 x^{2} - x]_{1/4}^{1} = 1 - (- \frac{1}{8}) = \frac{9}{8} .$
よって $\int_{0}^{1} ∣4 x - 1∣ d x = \frac{5}{4}$ で、 $∥ φ ∥ \leq \frac{5}{4} + 1 = \frac{9}{4}$ 。

下からの評価. 等号には「 $f = sgn (4 x - 1)$ かつ $f (0) = 1$ 」が必要だが、 $x = 0$ の近くでは $4 x - 1 < 0$ なので連続関数では実現できない。そこで $0 < ε < \frac{1}{8}$ に対して、次の折れ線関数 $f_{ε} \in C ([0, 1])$ をとる:
$f_{ε} (0) = 1$ 、 $[0, ε]$ で $1$ から $- 1$ へ線形、 $[ε, \frac{1}{4} - ε]$ で $- 1$ 、 $[\frac{1}{4} - ε, \frac{1}{4} + ε]$ で $- 1$ から $1$ へ線形、 $[\frac{1}{4} + ε, 1]$ で $1$ 。
$∥ f_{ε} ∥_{\infty} = 1$ であり、 $f_{ε} (x) = sgn (4 x - 1)$ とならない点は長さ $3 ε$ の集合 $E_{ε} = [0, ε] \cup [\frac{1}{4} - ε, \frac{1}{4} + ε]$ に含まれる。 $E_{ε}$ 上で $∣ (4 x - 1) (f_{ε} - sgn (4 x - 1)) ∣ \leq 1 \cdot 2$ なので
$\int_{0}^{1} (4 x - 1) f_{ε} d x \geq \int_{0}^{1} ∣4 x - 1∣ d x - 2 \cdot 3 ε = \frac{5}{4} - 6 ε .$
したがって $φ (f_{ε}) \geq \frac{5}{4} - 6 ε + 1 = \frac{9}{4} - 6 ε$ 。 $ε \to 0$ として $∥ φ ∥ \geq \frac{9}{4}$ 。

以上より $∥ φ ∥ = \frac{9}{4}$ 。（リースの表現定理の言葉では、 $φ$ は測度 $μ = (4 x - 1) d x + δ_{0}$ に対応し、 $∥ φ ∥$ はその全変動 $∣ μ ∣ ([0, 1]) = \frac{5}{4} + 1$ に等しい。なお上限は達成されない。）

別解

リース・マルコフ・角谷の定理より、 $φ$ は符号付きボレル測度 $μ = (4 x - 1) d x + δ_{0}$ に対応し、 $∥ φ ∥ = ∣ μ ∣ ([0, 1])$ （全変動）。 $(4 x - 1) d x$ は絶対連続、 $δ_{0}$ は点 $0$ に集中する原子で互いに特異なので、全変動は和になる: $∥ φ ∥ = \int_{0}^{1} ∣4 x - 1∣ d x + 1$ 。

$\int_{0}^{1} ∣4 x - 1∣ d x = \int_{0}^{1/4} (1 - 4 x) d x + \int_{1/4}^{1} (4 x - 1) d x = [x - 2 x^{2}]_{0}^{1/4} + [2 x^{2} - x]_{1/4}^{1} = \frac{1}{8} + \frac{9}{8} = \frac{5}{4}$ 。

よって $∥ φ ∥ = \frac{5}{4} + 1 = \frac{9}{4}$ 。

確認（上からの評価）: $∣ φ (f) ∣ \leq ∥ f ∥_{\infty} (\frac{5}{4} + 1)$ は明らか。達成: $ε > 0$ に対し連続関数 $f_{ε}$ を、 $x \geq ε$ で $sgn (4 x - 1)$ に等しく、 $[0, ε]$ で $f (0) = 1$ から $f (ε) = - 1$ へ線形に動かす ( $ε < 1/4$ )ものとする。 $f_{ε} (0) = 1$ で、 $φ (f_{ε}) \to \frac{5}{4} + 1$ （ $[0, ε]$ の寄与は $O (ε)$ ）。よって上限は $9/4$ 。

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