関数解析の問題

方針：$({\ell }^3{)}^{\ast }={\ell }^{3/2}$ という双対の表現を使う。$\frac{1}{3}+\frac{1}{q}=1$ より共役指数は $q=\frac{3}{2}$ である。数列 $a=(a_n)\in {\ell }^q$ に対して ${\phi }_a(x)=\sum a_n{x}_n$ と定めると $\Vert {\phi }_a\Vert =\Vert a{\Vert }_q$ が成り立つ。

ステップ1（$a$ の特定）：$\phi (x)=\sum a_n{x}_n$ で $a_n=4^{-n}$ である。

ステップ2（上からの評価）：ヘルダーの不等式より
$$|\phi (x)|\le \sum _{n=1}^{\infty }|a_n||x_n|\le \Vert a{\Vert }_{3/2}\Vert x{\Vert }_3.$$
ここで
$$\sum _{n=1}^{\infty }|a_n{|}^{3/2}=\sum _{n=1}^{\infty }(4^{-n}{)}^{3/2}=\sum _{n=1}^{\infty }{8}^{-n}=\frac{1/8}{1-1/8}=\frac{1}{7}$$
なので、$\Vert a{\Vert }_{3/2}={\left(\frac{1}{7}\right)}^{2/3}=7^{-2/3}$ となる。よって $\Vert \phi \Vert \le 7^{-2/3}$ である。

ステップ3（等号の実現）：ヘルダーの等号成立条件 $|x_n{|}^3\propto |a_n{|}^{3/2}$ に合わせて、$x_n=|a_n{|}^{q-1}=a_n^{1/2}=2^{-n}$ ととる。$\sum 8^{-n}<\infty$ なので $x\in {\ell }^3$ である。このとき
$$\Vert x{\Vert }_3={\left(\sum _{n=1}^{\infty }{8}^{-n}\right)}^{1/3}=7^{-1/3},\phi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{2}^{-n}{4}^{-n}=\sum _{n=1}^{\infty }{8}^{-n}=\frac{1}{7}$$
となる。したがって
$$\frac{|\phi (x)|}{\Vert x{\Vert }_3}=\frac{7^{-1}}{7^{-1/3}}=7^{-2/3}$$
であり、上限はこの $x$ で達成される。

結論：
$$\Vert \phi \Vert =7^{-2/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{49}}$$

ℓ^3 の双対空間は ℓ^{3/2}(共役指数 q=3/2)である。そこで ε_n=4^{-n} とおくと、φ(x)=Σ ε_n x_n であり、Hölder の不等式より |φ(x)| ≤ ‖ε‖_{3/2}‖x‖_3 が成り立つ。

等号は x_n=ε_n^{q-1}=ε_n^{1/2}=2^{-n} のとき(|x_n|^3 と |ε_n|^{3/2} が比例する)に成立する。実際、x_n=2^{-n} とすると、
φ(x)=Σ 8^{-n}=1/7、
‖x‖_3=(Σ 8^{-n})^{1/3}=(1/7)^{1/3}
なので、φ(x)/‖x‖_3=(1/7)^{2/3} となる。

一方 ‖ε‖_{3/2}=(Σ 4^{-3n/2})^{2/3}=(Σ 8^{-n})^{2/3}=(1/7)^{2/3} であり、上界と一致する。

よって ‖φ‖=7^{-2/3}。