関数解析の問題

方針. $u(x)=x$ とおくと、$u\in L^2([0,1])$ であり、
$$M=\{f:⟨f,u⟩=0\}$$
と書ける。線形汎関数 $\phi (f)=⟨f,u⟩$ はコーシー・シュワルツの不等式 $|\phi (f)|\le \Vert u\Vert \Vert f\Vert$ より有界なので、$M=\ker \phi$ は閉部分空間である。さらに $M^{\perp }=\mathrm{span}\{u\}$ となる。

射影定理より $L^2([0,1])=M\oplus M^{\perp }$ と分解できる。$g(x)=e^x$ をこの分解で書いたときの $M$ 成分 $P_{M}g$ が、$M$ の中で $g$ に最も近い元である。したがって求める最小値は
$$\Vert g-P_{M}g{\Vert }^2=\Vert P_{M^{\perp }}g{\Vert }^2$$
である。

$M^{\perp }$ への射影. $M^{\perp }$ は $u$ が張る 1 次元空間なので、
$$P_{M^{\perp }}g=\frac{⟨g,u⟩}{\Vert u{\Vert }^2}u$$
となる。ここで、部分積分により
$$⟨g,u⟩={\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=[x{e}^x{]}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-(e-1)=1,$$
また
$$\Vert u{\Vert }^2={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$$
である。よって $P_{M^{\perp }}g=3x$ となる。

最小値.
$$\Vert P_{M^{\perp }}g{\Vert }^2=\frac{⟨g,u{⟩}^2}{\Vert u{\Vert }^2}=\frac{1^2}{1/3}=3.$$

確認. 最小値を与えるのは $f=P_{M}g=e^x-3x$ である。実際、
$${\int }_0^{1}x(e^x-3x)dx=1-3\cdot \frac{1}{3}=0$$
なので $f\in M$ を満たす。このとき
$${\int }_0^1(e^x-f{)}^{2}dx={\int }_0^{1}9x^{2}dx=3$$
となり、上の結果と一致する。

以上より、最小値は $3$ である。

$u(x)=x$ とおくと $M=\{u{\}}^{\perp }$（$u$ に直交する閉部分空間）である。$e^x$ の $M$ への直交射影を $P$ とすると、最小値は $\Vert e^x-P{e}^x{\Vert }^2$ であり、これは $e^x$ の $\mathrm{span}\{u\}$ への射影の長さの2乗に等しい。

$⟨e^x,x⟩={\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=[x{e}^x-e^x{]}_0^1=0-(-1)=1$
$\Vert u{\Vert }^2={\int }_0^1{x}^{2}dx=1/3$

射影は $\frac{⟨e^x,u⟩}{\Vert u{\Vert }^2}u=3x$。

よって最小値は $\frac{⟨e^x,u{⟩}^2}{\Vert u{\Vert }^2}=\frac{1}{1/3}=3$。

検算：$f=e^x-3x$ とおくと ${\int }_0^{1}xfdx=1-3\cdot \frac{1}{3}=0$ なので $f\in M$。このとき ${\int }_0^1(e^x-f{)}^{2}dx={\int }_0^{1}9x^{2}dx=3$ となり、最小値が達成される。