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関数解析の問題

難易度 2大学院の講義の演習問題レベル大学院数学関数解析

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^{2} ([0, 1])$ （内積 $⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{1} f (x) g (x) d x$ ）を考える。実数 $a, b$ を動かすとき、
$\int_{0}^{1} (x - a - b x)^{2} d x$
の最小値を求めよ。

この問題で使うもの

ヒルベルト空間と射影定理（説明と入口の問題）
直交射影と最小二乗法（説明と入口の問題）
基本的な関数の不定積分（説明と入口の問題）
掃き出し法と連立 1 次方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（72 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

最小値は $x$ と部分空間 $span {1, x}$ との $L^{2}$ 距離の 2 乗です。直交射影を求めましょう。

ヒント 2

最小を与える $a + b x$ は、残差 $x - a - b x$ が $1$ と $x$ の両方に直交するという条件（正規方程式）で決まります。

ヒント 3

正規方程式は $a + \frac{1}{2} b = \frac{2}{3}$ , $\frac{1}{2} a + \frac{1}{3} b = \frac{2}{5}$ で、解は $a = \frac{4}{15}$ , $b = \frac{4}{5}$ です。最小値は $∥ x ∥^{2} - a ⟨ x, 1 ⟩ - b ⟨ x, x ⟩$ で計算できます。

答えと解説

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\frac{1}{450}

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解説を読む

$f (x) = x$ とし、 $M = span {1, x}$ とおく。求める最小値は $f$ と $M$ の距離の 2 乗 $∥ f - P f ∥^{2}$ （ $P$ は $M$ への直交射影）である。

$P f = a + b x$ は正規方程式 $⟨ f - a - b x, 1 ⟩ = 0$ , $⟨ f - a - b x, x ⟩ = 0$ で決まる。必要な内積は
$⟨ 1, 1 ⟩ = 1, ⟨ 1, x ⟩ = \frac{1}{2}, ⟨ x, x ⟩ = \frac{1}{3}, ⟨ f, 1 ⟩ = \int_{0}^{1} x^{1/2} d x = \frac{2}{3}, ⟨ f, x ⟩ = \int_{0}^{1} x^{3/2} d x = \frac{2}{5}, ∥ f ∥^{2} = \int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2} .$
よって
$a + \frac{1}{2} b = \frac{2}{3}, \frac{1}{2} a + \frac{1}{3} b = \frac{2}{5} .$
第 1 式から $a = \frac{2}{3} - \frac{b}{2}$ 。第 2 式に代入して $\frac{1}{3} - \frac{b}{4} + \frac{b}{3} = \frac{2}{5}$ 、すなわち $\frac{b}{12} = \frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{1}{15}$ より $b = \frac{4}{5}$ 、 $a = \frac{2}{3} - \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$ 。

$f - P f ⊥ M$ なので $∥ f - P f ∥^{2} = ⟨ f - P f, f ⟩ = ∥ f ∥^{2} - a ⟨ f, 1 ⟩ - b ⟨ f, x ⟩$ 。したがって
$∥ f - P f ∥^{2} = \frac{1}{2} - \frac{4}{15} \cdot \frac{2}{3} - \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{2} - \frac{8}{45} - \frac{8}{25} = \frac{1}{2} - \frac{112}{225} = \frac{225 - 224}{450} = \frac{1}{450} .$
よって最小値は $\frac{1}{450}$ （ $a = \frac{4}{15}, b = \frac{4}{5}$ のとき）。

別解

最小値は $x$ の $span {1, x}$ への直交射影までの距離の 2 乗。 $min = ∥ f ∥^{2} - c^{T} G^{- 1} c$ 。
$∥ f ∥^{2} = \int_{0}^{1} x d x = \frac{1}{2}$ 。グラム行列 $G = (1 1/2 1/2 1/3)$ 、 $det G = \frac{1}{12}$ 、 $G^{- 1} = (4 - 6 - 6 12)$ 。 $c = (\int x, \int x^{3/2}) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{5})$ 。
$c^{T} G^{- 1} c = 4 \cdot \frac{4}{9} - 12 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} + 12 \cdot \frac{4}{25} = \frac{16}{9} - \frac{16}{5} + \frac{48}{25} = \frac{400 - 720 + 432}{225} = \frac{112}{225}$ 。
よって最小値 $= \frac{1}{2} - \frac{112}{225} = \frac{225 - 224}{450} = \frac{1}{450}$ 。
検算: 法線方程式 $a + b /2 = 2/3$ , $a /2 + b /3 = 2/5$ を解くと $b = 4/5$ , $a = 4/15$ 。残差ノルム $^{2} = ∥ f ∥^{2} - a \cdot \frac{2}{3} - b \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{2} - \frac{8}{45} - \frac{8}{25} = \frac{225 - 80 - 144}{450} = \frac{1}{450}$ 。一致。

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