関数解析の問題

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$（内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$）を考える。実数 $a,b$ を動かすとき、
$${\int }_0^1{\left(\sqrt{x}-a-bx\right)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ を、内積 $⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx$ で考える。部分空間
$$M=\left\{f\in L^2([0,1]):{\int }_0^{1}xf(x)dx=0\right\}$$
を考える。$f$ が $M$ 全体を動くときの
$${\int }_0^1{\left(e^x-f(x)\right)}^{2}dx$$
の最小値を求めよ。

ルベーグ測度に関する実ヒルベルト空間 $L^2([0,1])$ を、内積 $$⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(x)g(x)dx,\Vert f\Vert =\sqrt{⟨f,f⟩}$$ で考える。部分空間 $$M=\left\{g\in L^2([0,1]):{\int }_0^{1}xg(x)dx=0\right\}$$ をとり、定数関数 $f(x)=1$ とする。$f$ と $M$ との距離 $$d=\underset{g\in M}{\inf }\Vert f-g\Vert$$ を求めよ。

実ヒルベルト空間 $${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{R},\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n^2<\infty \right\}$$ を、内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n{y}_n$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。部分空間 $M$ を $$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}=0,x_1=x_2\right\}$$ で定め、$e_1=(1,0,0,\dots )$ とする。$e_1$ と $M$ との距離 $$d=\underset{y\in M}{\inf }\Vert e_1-y\Vert$$ について、$d^2$ の値を求めよ。

複素ヒルベルト空間 ${\ell }^2=\left\{x=(x_n{)}_{n\ge 1}:x_n\in \mathbb{C},{\sum }_{n=1}^{\infty }|x_n{|}^2<\infty \right\}$ を内積 $⟨x,y⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{x}_n\overline{y_n}$ とそれから定まるノルム $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ で考える。閉部分空間
$$M=\left\{x\in {\ell }^2:\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x_n}{2^n}=0\right\}$$
と、$u_n=\frac{1}{n}(n=1,2,3,\dots )$ で定まるベクトル $u=(u_n{)}_{n\ge 1}\in {\ell }^2$ をとる。$u$ と $M$ との距離 $d=\underset{x\in M}{\inf }\Vert u-x\Vert$ を求めよ。