関数解析の問題

手順 1: $M$ を直交補空間として表す。
$u(x)=x$ とおくと $u\in L^2([0,1])$ で、$M$ の定義の条件は $⟨g,u⟩=0$ と書ける。よって $$M=\{u{\}}^{\perp }$$ である。汎関数 $\phi (g)=⟨g,u⟩$ はリースの表現定理の形の有界線形汎関数（コーシー・シュワルツの不等式より $|\phi (g)|\le \Vert u\Vert \Vert g\Vert$）なので、$M=\ker \phi$ は閉部分空間である。

手順 2: 射影定理で距離を直交補空間の成分に帰着する。
$M$ は閉部分空間なので、射影定理により $L^2([0,1])=M\oplus M^{\perp }$ と直交分解でき、$f=P_{M}f+P_{M^{\perp }}f$ となる。$f$ に最も近い $M$ の元は $P_{M}f$ で、$$d=\Vert f-P_{M}f\Vert =\Vert P_{M^{\perp }}f\Vert .$$ ここで $M^{\perp }=(\{u{\}}^{\perp }{)}^{\perp }=\overline{\mathrm{span}\{u\}}=\mathrm{span}\{u\}$（1 次元なので閉）である。

手順 3: 1 次元部分空間への射影を計算する。
$$P_{M^{\perp }}f=\frac{⟨f,u⟩}{\Vert u{\Vert }^2}u,d=\frac{|⟨f,u⟩|}{\Vert u\Vert }.$$ 計算すると $$⟨f,u⟩={\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2},\Vert u{\Vert }^2={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}.$$ よって $$d=\frac{1/2}{1/\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

確認: $P_{M^{\perp }}f=\frac{1/2}{1/3}x=\frac{3}{2}x$ なので最良近似は $g_0(x)=1-\frac{3}{2}x$。実際 ${\int }_0^{1}x\left(1-\frac{3}{2}x\right)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ で $g_0\in M$、また $\Vert f-g_0\Vert =\frac{3}{2}\Vert x\Vert =\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ となり一致する。

答え: $d=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$M=\{x{\}}^{\perp }$（$h(x)=x$ とおく）で、$M$ は閉部分空間である。$f$ と $M$ の距離は、$f$ の $M^{\perp }=\mathrm{span}\{h\}$ への直交射影のノルムに等しい。

計算：$⟨f,h⟩={\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$、$\Vert h{\Vert }^2={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$。

よって $d=\frac{|⟨f,h⟩|}{\Vert h\Vert }=\frac{1/2}{1/\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

検算：$g=f-\frac{⟨f,h⟩}{\Vert h{\Vert }^2}h=1-\frac{3}{2}x$ とおくと ${\int }_0^{1}x(1-\frac{3}{2}x)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$ なので $g\in M$。このとき $\Vert f-g{\Vert }^2=\frac{9}{4}{\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{9}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{4}$ で、$d=\frac{\sqrt{3}}{2}$ となり一致する。