関数解析の問題

方針（双対性）. $X$ をノルム空間、$M$ をその閉部分空間とする。ハーン・バナッハの定理から、$f\in X$ に対して
$$\mathrm{dist}(f,M)=\max \{|\phi (f)|:\phi \in M^{\perp },\Vert \phi \Vert \le 1\}$$
が成り立つ。これは $(X/M{)}^{\ast }\cong M^{\perp }$ と言いかえられる。$X=L^1([0,1])$ では $(L^1{)}^{\ast }=L^{\infty }$ である。したがって
$$\Vert [x^3]\Vert =\sup \{{\int }_0^1{x}^{3}g(x)dx:\Vert g{\Vert }_{\infty }\le 1,{\int }_0^{1}gdx={\int }_0^{1}xgdx=0\}$$
となる。以下では、上からの評価（具体的な $p$）と下からの評価（具体的な $g$）が一致することを示す。

候補の構成. $L^1$ での $1$ 次式による最良近似では、誤差がちょうど $2$ 回符号を変える点として $x=\frac{1}{4},\frac{3}{4}$ が現れることが知られている。そこで、誤差を次の形に置く。
$$e(x)=x^3-p(x)=(x-\frac{1}{4})(x-\frac{3}{4})(x-c)$$
$p$ が $1$ 次以下であるためには、$e$ の $x^2$ の係数 $-(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+c)$ が $0$ でなければならない。よって $c=-1$ である。展開すると
$$e(x)=(x^2-x+\frac{3}{16})(x+1)=x^3-\frac{13}{16}x+\frac{3}{16}$$
となる。したがって $p^{\ast }(x)=\frac{13}{16}x-\frac{3}{16}\in M$ である。$-1\notin [0,1]$ なので、$e$ は $[0,1)$ のうち $[0,\frac{1}{4})$ で正、$(\frac{1}{4},\frac{3}{4})$ で負、$(\frac{3}{4},1]$ で正である。

上からの評価. $F(x)=\frac{x^4}{4}-\frac{13x^2}{32}+\frac{3x}{16}$ とおくと $F^{\prime }=e$ である。各値は
$$F(0)=0,F\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{1024}-\frac{26}{1024}+\frac{48}{1024}=\frac{23}{1024},$$
$$F\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{81}{1024}-\frac{234}{1024}+\frac{144}{1024}=-\frac{9}{1024},F(1)=\frac{8}{32}-\frac{13}{32}+\frac{6}{32}=\frac{1}{32}$$
である。符号に注意して積分すると
$$\Vert e{\Vert }_1=2F\left(\frac{1}{4}\right)-2F\left(\frac{3}{4}\right)+F(1)-F(0)=\frac{46+18+32}{1024}=\frac{96}{1024}=\frac{3}{32}$$
を得る。よって $\Vert [x^3]\Vert \le \frac{3}{32}$ である。

下からの評価. $g$ を、$[0,\frac{1}{4})$ で $1$、$[\frac{1}{4},\frac{3}{4})$ で $-1$、$[\frac{3}{4},1]$ で $1$ をとる関数とする。$\Vert g{\Vert }_{\infty }=1$ である。また
$${\int }_0^{1}gdx=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=0,$$
$${\int }_0^{1}xgdx=\frac{1}{32}-(\frac{9}{32}-\frac{1}{32})+(\frac{1}{2}-\frac{9}{32})=\frac{1-8+7}{32}=0$$
なので、$g\in M^{\perp }$ である。したがって任意の $p\in M$ に対して
$$\Vert x^3-p{\Vert }_1\ge {\int }_0^1(x^3-p)gdx={\int }_0^1{x}^{3}gdx$$
が成り立つ。右辺を計算すると
$${\int }_0^1{x}^{3}gdx=\frac{1}{1024}-\frac{80}{1024}+\frac{175}{1024}=\frac{96}{1024}=\frac{3}{32}$$
である。

上下の評価が一致するので、$\Vert [x^3]\Vert =\frac{3}{32}$ である。最小値は $p^{\ast }$ で達成される。

$\Vert [f]\Vert$ は $x^3$ の $M$ への最良 $L^1$ 近似の誤差である。$x=(t+1)/2$（$t\in [-1,1]$）と置く。このとき $x^3=\frac{1}{8}(t^3+3t^2+3t+1)$ で、1 次以下の項は $M$ に吸収されるので、$t^3+3t^2$ を 1 次以下の多項式 $p$ で近似すればよい。

最良近似の特徴づけ：$g=f-p$ の符号関数 $\mathrm{sign}g$ が $1$ と $t$ に直交すればよい。
$\mathrm{sign}(U_2(t))=\mathrm{sign}(4t^2-1)$ は、符号の変わり目が $t=\pm 1/2$ であり、${\int }_{-1}^1\mathrm{sign}(4t^2-1)dt=\frac{1}{2}-1+\frac{1}{2}=0$、${\int }_{-1}^{1}t\mathrm{sign}(4t^2-1)dt=0$（奇関数）を満たす。

$p$ を $t=\pm 1/2$ で $t^3+3t^2$ と一致する 1 次式にとると、$g(t)=t^3+3t^2-p(t)$ の根の和は $-3$ なので、第 3 の根は $-3$ であり、
$g(t)=(t^2-\frac{1}{4})(t+3)$。
$-3\notin [-1,1]$ なので、$g$ の符号変化は $t=\pm 1/2$ のみである。ゆえに $\mathrm{sign}g=\mathrm{sign}(4t^2-1)$ は $1,t$ に直交し、この $p$ は最良近似である。

誤差：${\int }_{-1}^1|g|dt={\int }_{-1}^1|t^2-\frac{1}{4}|(t+3)dt$。$t$ の項は $|t^2-1/4|$ が偶関数なので 0 になり、
$=3{\int }_{-1}^1|t^2-\frac{1}{4}|dt=6{\int }_0^1|t^2-\frac{1}{4}|dt=6\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{6}\right)=\frac{3}{2}$。

変数を戻す：$dx=dt/2$、係数 $1/8$ より
$\Vert [f]\Vert =\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{32}$。

検算：$x$ で書くと $x^3-p=(x-\frac{1}{4})(x-\frac{3}{4})(x+1)$。${\int }_0^1|(x-\frac{1}{4})(x-\frac{3}{4})|dx=\frac{1}{16}$ で、$x+1$ の重み付き平均が $\frac{3}{2}$ となり、$\frac{3}{32}$ に一致する。