関数解析の問題

1. 再生核. $e_n(z)=\sqrt{n+1}{z}^n(n\ge 0)$ は $A^2(\mathbb{D})$ の正規直交基底である（$\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{D}}|z{|}^{2n}dA=2{\int }_0^1{r}^{2n+1}dr=\frac{1}{n+1}$、異なる $n$ どうしは偏角の積分で直交）。よって再生核は
$$K_w(z)=\sum _{n\ge 0}(n+1)z^n{\bar{w}}^n=\frac{1}{(1-z\bar{w}{)}^2},f(w)=⟨f,K_w⟩.$$
$f(w)=\frac{1}{\pi }\int f(z)(1-\bar{z}w{)}^{-2}dA$ を $w$ で微分すると $f^{\prime }(w)=⟨f,L_w⟩$、ただし
$$L_w(z)=\frac{2z}{(1-z\bar{w}{)}^3}.$$
点評価とその微分は有界線形汎関数なので $M=\{K_w,L_w{\}}^{\perp }$（$w=\frac{1}{2}$）は閉部分空間であり、$M^{\perp }=\mathrm{span}\{K_w,L_w\}$ である。

2. 距離の表示. 直交分解 $g=P_{M}g+P_{M^{\perp }}g$ において、$M$ の元のうち $g$ に最も近いのは $P_{M}g$ であるから
$$\mathrm{dist}(g,M)=\Vert g-P_{M}g\Vert =\Vert P_{M^{\perp }}g\Vert .$$
（$\Vert P_{M}g\Vert$ ではないことに注意する。）$M^{\perp }$ は2次元なので、$\Vert P_{M^{\perp }}g\Vert$ を直接計算する。

3. グラム行列. $w=\frac{1}{2}$, $1-|w{|}^2=\frac{3}{4}$ として
$$⟨K_w,K_w⟩=K_w(w)=\frac{1}{(3/4{)}^2}=\frac{16}{9},⟨L_w,K_w⟩=L_w(w)=\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{(3/4{)}^3}=\frac{64}{27},$$
$$⟨L_w,L_w⟩=L_w^{\prime }(w)={\left[\frac{2}{(1-z\bar{w}{)}^3}+\frac{6z\bar{w}}{(1-z\bar{w}{)}^4}\right]}_{z=w}=\frac{128}{27}+\frac{384}{81}=\frac{256}{27}.$$
いずれも実数である。

4. 射影の係数. $P_{M^{\perp }}g=c_1{K}_w+c_2{L}_w$ とおく。$g-P_{M^{\perp }}g\perp K_w,L_w$ より
$$\frac{16}{9}{c}_1+\frac{64}{27}{c}_2=⟨g,K_w⟩=g(\frac{1}{2})=\frac{1}{2},\frac{64}{27}{c}_1+\frac{256}{27}{c}_2=⟨g,L_w⟩=g^{\prime }(\frac{1}{2})=1.$$
$27$ 倍すると $48c_1+64c_2=\frac{27}{2}$ と $64c_1+256c_2=27$ になる。前者を $4$ 倍して $192c_1+256c_2=54$、これから後者を引くと $128c_1=27$。よって
$$c_1=\frac{27}{128},256c_2=27-64\cdot \frac{27}{128}=\frac{27}{2}\Rightarrow c_2=\frac{27}{512}.$$

5. ノルム. $c_1,c_2$ は実数で、$P_{M^{\perp }}$ は直交射影なので
$$\Vert P_{M^{\perp }}g{\Vert }^2=⟨g,P_{M^{\perp }}g⟩=c_{1}g(\frac{1}{2})+c_2{g}^{\prime }(\frac{1}{2})=\frac{27}{128}\cdot \frac{1}{2}+\frac{27}{512}=\frac{54}{512}+\frac{27}{512}=\frac{81}{512}.$$
（検算：グラム行列 $G$ の行列式は $\frac{8192}{729}$、$b=(\frac{1}{2},1)$ として $b^T{G}^{-1}b=\frac{729}{8192}\cdot \frac{16}{9}=\frac{81}{512}$ で一致する。）よって
$$\mathrm{dist}(g,M)=\sqrt{\frac{81}{512}}=\frac{9}{16\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{32}.$$
（$\Vert g{\Vert }^2=\frac{1}{2}=\frac{256}{512}$ より、$g$ の $M$ への射影成分のノルムの2乗は $\frac{175}{512}$ であり、確かに $\mathrm{dist}(g,M)\le \Vert g\Vert$ をみたす。）

$a=\frac{1}{2}$ とおく。$A^2(\mathbb{D})$ の再生核は $K(z,w)=\frac{1}{(1-z\bar{w}{)}^2}$ である。

評価汎関数 $f\mapsto f(a)$ と $f\mapsto f^{\prime }(a)$ は、それぞれ次の元との内積で表される。
$k_0(z)=\frac{1}{(1-az{)}^2}$ （$⟨f,k_0⟩=f(a)$）
$k_1(z)=\frac{2z}{(1-az{)}^3}$ （$⟨f,k_1⟩=f^{\prime }(a)$）

したがって $M=\{k_0,k_1{\}}^{\perp }$ であり、$\mathrm{dist}(g,M)$ は $g$ の $\mathrm{span}\{k_0,k_1\}$ への正射影のノルムに等しい。

グラム行列の成分は次のとおり。
$⟨k_0,k_0⟩=k_0(a)=\frac{1}{(1-a^2{)}^2}=\frac{16}{9}$
$⟨k_1,k_0⟩=k_1(a)=\frac{2a}{(1-a^2{)}^3}=\frac{64}{27}$
$⟨k_1,k_1⟩=k_1^{\prime }(a)=\frac{2+4a^2}{(1-a^2{)}^4}=\frac{256}{27}$

よって $G=\left(\begin{array}{cc}16/9& 64/27\\ 64/27& 256/27\end{array}\right)$ であり、$\det G=\frac{4096}{243}-\frac{4096}{729}=\frac{8192}{729}$。

$g(z)=z$ について $v=(⟨g,k_0⟩,⟨g,k_1⟩)=(g(a),g^{\prime }(a))=(1/2,1)$。

射影のノルムの2乗は $v^T{G}^{-1}v$ である。
$v^T\mathrm{adj}(G)v=\frac{256}{27}\cdot \frac{1}{4}-2\cdot \frac{64}{27}\cdot \frac{1}{2}+\frac{16}{9}=\frac{64}{27}-\frac{64}{27}+\frac{48}{27}=\frac{16}{9}$

ゆえに
${\mathrm{dist}}^2=\frac{16}{9}\cdot \frac{729}{8192}=\frac{81}{512}$

検算：$\Vert g{\Vert }^2=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{D}}|z{|}^{2}dA=2{\int }_0^1{r}^{3}dr=\frac{1}{2}$ であり、$\frac{81}{512}\approx 0.158<\frac{1}{2}$ なので $\mathrm{dist}\le \Vert g\Vert$ と矛盾しない。

$\mathrm{dist}=\frac{9}{16\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{32}$。