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関数解析の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル証明問題大学院数学関数解析

$H$ を ${0}$ でない複素ヒルベルト空間とし、 $B (H)$ を $H$ 上の有界線形作用素全体、 $∥ \cdot ∥$ を作用素ノルム、 $T^{*}$ を $T$ の共役作用素とする。 $T \in B (H)$ が $T^{2} = 0$ を満たすとき、
$∥ T + T^{*} ∥ = ∥ T ∥$
が成り立つことを証明せよ。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- 任意の $T \in B (H)$ に対し $∥ T^{*} T ∥ = ∥ T T^{*} ∥ = ∥ T ∥^{2}$ 。
- 自己共役作用素 $S \in B (H)$ に対し $∥ S^{2} ∥ = ∥ S ∥^{2}$ 。
- $A \in B (H)$ に対し $ker A^{*} = (ran A)^{⊥}$ 。

この問題で使うもの

ヒルベルト空間と射影定理（説明と入口の問題）
有界線形作用素と作用素ノルム（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（75 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$S = T + T^{*}$ は自己共役なので $∥ S ∥^{2} = ∥ S^{2} ∥$ が使えます。 $S^{2}$ を展開して、何のノルムを求めればよいかに帰着させましょう。

ヒント 2

$T^{2} = 0$ から $S^{2} = T T^{*} + T^{*} T$ となり、 $A = T T^{*}$ , $B = T^{*} T$ は $A B = B A = 0$ を満たします。このとき $ran A$ と $ran B$ が直交することを示し、 $∥ A + B ∥ = max (∥ A ∥, ∥ B ∥)$ を目指します。

ヒント 3

$ran B \subset ker A = (ran A)^{⊥}$ を確かめ、 $H = ran A \oplus ran B \oplus L$ と直交分解します。 $x = x_{1} + x_{2} + x_{3}$ と分けると $A x = A x_{1}$ , $B x = B x_{2}$ となるので、 $∥ (A + B) x ∥^{2} = ∥ A x_{1} ∥^{2} + ∥ B x_{2} ∥^{2}$ から上からの評価が得られます。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

$S = T + T^{*}$ が自己共役であることから $∥ S ∥^{2} = ∥ S^{2} ∥$ とし、 $T^{2} = 0$ と $(T^{*})^{2} = 0$ を用いて $S^{2} = T T^{*} + T^{*} T$ を導いている（2 点）
$A = T T^{*}$ , $B = T^{*} T$ について $A B = B A = 0$ を、 $(T^{*})^{2} = 0$ と $T^{2} = 0$ から計算で示している（1 点）
$ran B \subset ker A$ と、 $A$ の自己共役性による $ker A = (ran A)^{⊥}$ から、 $A, B$ の値域の閉包が直交することを示し、 $A x = A x_{1}$ , $B x = B x_{2}$ となる分解を得ている（3 点）
値域の直交性とピタゴラスの定理を用いて $∥ A + B ∥ \leq max (∥ A ∥, ∥ B ∥)$ を示している（2 点）
$∥ A ∥ \leq ∥ A + B ∥$ （と $B$ についても同様）を示して等号を得て、 $∥ T T^{*} ∥ = ∥ T^{*} T ∥ = ∥ T ∥^{2}$ から $∥ T + T^{*} ∥ = ∥ T ∥$ と結論している（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

記号. $S = T + T^{*}$ , $A = T T^{*}$ , $B = T^{*} T$ とおく。 $S, A, B$ はいずれも自己共役である（ $S^{*} = T^{*} + T = S$ , $A^{*} = (T^{*})^{*} T^{*} = T T^{*} = A$ , $B$ も同様）。

Step 1: $S^{2} = A + B$ と $A B = B A = 0$ . $T^{2} = 0$ より $(T^{*})^{2} = (T^{2})^{*} = 0$ である。よって
$S^{2} = T^{2} + T T^{*} + T^{*} T + (T^{*})^{2} = A + B .$
また
$A B = T T^{*} T^{*} T = T (T^{*})^{2} T = 0, B A = T^{*} T T T^{*} = T^{*} T^{2} T^{*} = 0.$

Step 2: $H$ の直交分解. $M = ran A$ , $N = ran B$ とおく。

(i) $ran B \subset ker A$ ： $y = B z$ なら $A y = A B z = 0$ 。 $ker A$ は閉部分空間なので $N \subset ker A$ 。同様に $B A = 0$ から $M \subset ker B$ 。

(ii) $A$ は自己共役なので、与えられた事実から $ker A = ker A^{*} = (ran A)^{⊥} = M^{⊥}$ 。同様に $ker B = N^{⊥}$ 。

(i), (ii) より $N \subset ker A = M^{⊥}$ 、すなわち $M ⊥ N$ である。 $M, N$ は閉部分空間で互いに直交するので $M \oplus N$ は閉部分空間であり、 $L = (M \oplus N)^{⊥}$ とおくと
$H = M \oplus N \oplus L (直交直和)$
となる。任意の $x \in H$ を $x = x_{1} + x_{2} + x_{3}$ （ $x_{1} \in M$ , $x_{2} \in N$ , $x_{3} \in L$ ）と分解すると、 $∥ x ∥^{2} = ∥ x_{1} ∥^{2} + ∥ x_{2} ∥^{2} + ∥ x_{3} ∥^{2}$ である。

ここで $A, B$ の作用を調べる。 $x_{2} \in N \subset ker A$ より $A x_{2} = 0$ 。 $x_{3} \in L \subset M^{⊥} = ker A$ より $A x_{3} = 0$ 。よって $A x = A x_{1}$ 。同様に $x_{1} \in M \subset ker B$ , $x_{3} \in L \subset N^{⊥} = ker B$ より $B x = B x_{2}$ 。

Step 3: $∥ A + B ∥ = max (∥ A ∥, ∥ B ∥)$ . $c = max (∥ A ∥, ∥ B ∥)$ とおく。

上からの評価： $A x_{1} \in ran A \subset M$ , $B x_{2} \in ran B \subset N$ で $M ⊥ N$ だから、ピタゴラスの定理より
$∥ (A + B) x ∥^{2} = ∥ A x_{1} + B x_{2} ∥^{2} = ∥ A x_{1} ∥^{2} + ∥ B x_{2} ∥^{2} \leq ∥ A ∥^{2} ∥ x_{1} ∥^{2} + ∥ B ∥^{2} ∥ x_{2} ∥^{2} \leq c^{2} (∥ x_{1} ∥^{2} + ∥ x_{2} ∥^{2}) \leq c^{2} ∥ x ∥^{2} .$
よって $∥ A + B ∥ \leq c$ 。

下からの評価：任意の $x \in H$ に対し、Step 2 より $A x = A x_{1}$ 。一方 $x_{1} \in M \subset ker B$ なので $(A + B) x_{1} = A x_{1}$ 。したがって
$∥ A x ∥ = ∥ (A + B) x_{1} ∥ \leq ∥ A + B ∥ ∥ x_{1} ∥ \leq ∥ A + B ∥ ∥ x ∥.$
よって $∥ A ∥ \leq ∥ A + B ∥$ 。 $A$ と $B$ の役割を入れ替えた同じ議論（ $B x = B x_{2}$ と $(A + B) x_{2} = B x_{2}$ を使う）で $∥ B ∥ \leq ∥ A + B ∥$ 。以上より $∥ A + B ∥ = c$ 。

Step 4: 結論. $S$ は自己共役なので、与えられた事実と Step 1, 3 より
$∥ S ∥^{2} = ∥ S^{2} ∥ = ∥ A + B ∥ = max (∥ T T^{*} ∥, ∥ T^{*} T ∥) .$
さらに $∥ T T^{*} ∥ = ∥ T^{*} T ∥ = ∥ T ∥^{2}$ なので $∥ S ∥^{2} = ∥ T ∥^{2}$ 。ノルムは非負だから $∥ S ∥ = ∥ T ∥$ 。

以上により、 $T^{2} = 0$ を満たす任意の $T \in B (H)$ に対して $∥ T + T^{*} ∥ = ∥ T ∥$ が成り立つ。（なお $T + T^{*}$ は自己共役なので、そのスペクトル半径も $∥ T ∥$ に等しい。）

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