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関数解析の問題

難易度 4大学院入試の難問レベル証明問題大学院数学関数解析

$L^{2} (0, 1)$ を区間 $(0, 1)$ 上の複素数値 2 乗可積分関数（ほとんどいたるところ等しいものを同一視する）のなすヒルベルト空間とする。積分作用素 $K : L^{2} (0, 1) \to L^{2} (0, 1)$ を
$(K f) (x) = \int_{0}^{1} (1 - max (x, t)) f (t) d t (0 < x < 1)$
で定める。 $λ \in C$ が $K$ の固有値であるとは、 $K f = λ f$ を満たす $f \in L^{2} (0, 1)$ , $f \neq = 0$ が存在することをいう。このとき、 $K$ の固有値全体の集合が
${\frac{4}{( 2 n - 1 ) ^{2} π ^{2}} n = 1, 2, 3, \dots}$
に一致することを証明せよ（特に $0$ は固有値でない）。

ただし、次の事実は証明なしに用いてよい。
- フビニの定理。
- $f \in L^{1} (0, 1)$ に対し $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ は $[0, 1]$ 上連続であり、すべての $x \in [0, 1]$ で $F (x) = 0$ ならば $f = 0$ （ほとんどいたるところ）である。
- 定数係数の 2 階線形常微分方程式 $u^{''} + c u = 0$ （ $c \in C$ ）の $C^{2}$ 級の解は、初期値 $u (0), u^{'} (0)$ によって一意に定まる。

この問題で使うもの

コンパクト作用素と積分作用素の固有値（説明と入口の問題）
境界値問題と固有値（説明と入口の問題）
定数係数 2 階線形（斉次）（説明と入口の問題）
重積分と累次積分（説明と入口の問題）
基本的な関数の不定積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（104 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

固有値方程式 $K f = λ f$ を、境界条件付きの常微分方程式に書き換えるのが方針です。そのために $K f$ を $f$ の不定積分を使って表し、何回微分できるかを調べます。

ヒント 2

$1 - max (x, t) = \int_{0}^{1} 1_{{s > x}} 1_{{s > t}} d s$ とフビニの定理から、 $F (x) = \int_{0}^{x} f$ を用いて $(K f) (x) = \int_{x}^{1} F (s) d s$ と書けます。ここから $u = K f$ について $u^{'} = - F$ , $u (1) = 0$ , $u^{'} (0) = 0$ がわかります。

ヒント 3

$λ = 0$ なら $F \equiv 0$ となり $f = 0$ です。 $λ \neq = 0$ なら $f = u / λ$ は連続関数と同一視でき、 $u$ は $C^{2}$ 級で $λ u^{''} + u = 0$ を満たします。 $μ^{2} = 1/ λ$ とおいて、境界条件から $μ$ の条件を求めましょう（ $μ$ が実数になることも確かめる必要があります）。

採点の観点と模範解答

自分で証明を書いてから、採点の観点で見比べてください。

採点の観点を見る

フビニの定理などを用いて $K f$ を $f$ の不定積分 $F$ で表し（ $(K f) (x) = \int_{x}^{1} F (s) d s$ など）、 $u = K f$ が $C^{1}$ 級で $u^{'} = - F$ , $u (1) = 0$ , $u^{'} (0) = 0$ となることを示している（3 点）
$K f = 0$ から $F \equiv 0$ 、したがって $f = 0$ を導き、 $0$ が固有値でないことを示している（1 点）
$λ \neq = 0$ の固有関数が連続関数と同一視でき、 $C^{2}$ 級で $λ u^{''} + u = 0$ と境界条件 $u^{'} (0) = 0$ , $u (1) = 0$ を満たすことを、正則性の議論を省かずに示している（2 点）
常微分方程式を解き、 $cos μ = 0$ （ $μ^{2} = 1/ λ$ ）を複素数の範囲で解いて $μ$ が実数 $(2 k + 1) π /2$ に限ることを示し、 $λ = 4/ ((2 n - 1)^{2} π^{2})$ を得ている（2 点）
逆に $f_{n} (x) = cos \frac{( 2 n - 1 ) π x}{2}$ について $K f_{n} = \frac{4}{( 2 n - 1 ) ^{2} π ^{2}} f_{n}$ を直接計算で確かめ、集合の一致を結論している（2 点）

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

模範解答を読む

Step 1: $K f$ の表示. $f \in L^{2} (0, 1)$ とする。区間が有界なのでコーシー・シュワルツの不等式より $f \in L^{1} (0, 1)$ であり、 $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ は $[0, 1]$ 上連続、 $F (0) = 0$ である。

$0 < x < 1$ , $0 < t < 1$ に対し
$1 - max (x, t) = \int_{m a x (x, t)}^{1} d s = \int_{0}^{1} 1_{{s > x}} 1_{{s > t}} d s$
である。 $∣ 1_{{s > x}} 1_{{s > t}} f (t) ∣ \leq ∣ f (t) ∣$ は $(s, t) \in (0, 1)^{2}$ 上可積分なので、フビニの定理により積分順序を交換でき、
$u (x) := (K f) (x) = \int_{0}^{1} 1_{{s > x}} (\int_{0}^{1} 1_{{t < s}} f (t) d t) d s = \int_{x}^{1} F (s) d s . (1)$
$F$ は連続なので、微分積分学の基本定理より $u$ は $[0, 1]$ 上 $C^{1}$ 級で
$u^{'} (x) = - F (x), u (1) = 0, u^{'} (0) = - F (0) = 0. (2)$

Step 2: $0$ は固有値でない. $K f = 0$ とすると、 $(1)$ の右辺の連続関数 $u$ はほとんどいたるところ $0$ なので、連続性からすべての $x$ で $u (x) = 0$ 。 $(2)$ より $F (x) = - u^{'} (x) = 0$ （すべての $x$ ）。与えられた事実から $f = 0$ 。よって $0$ は固有値でない。

Step 3: 固有値は $4/ ((2 n - 1)^{2} π^{2})$ の形. $λ \neq = 0$ が固有値で、 $f \neq = 0$ , $K f = λ f$ とする。 $u$ を $(1)$ の連続関数とすると、ほとんどいたるところ $f = u / λ$ 。 $L^{2}$ の元としては $f$ を連続関数 $g = u / λ$ に取り替えてよく、 $(1)$ の右辺は $f$ をほとんどいたるところ等しい関数に替えても変わらない。 $g$ は連続だから $F (x) = \int_{0}^{x} g (t) d t$ は $C^{1}$ 級で $F^{'} = g$ 。 $(2)$ の $u^{'} = - F$ より $u$ は $C^{2}$ 級で
$u^{''} = - F^{'} = - g = - \frac{u}{λ}, u^{'} (0) = 0, u (1) = 0.$
また $f \neq = 0$ だから $u = λ g$ は恒等的に $0$ ではない。

$μ \in C$ を $μ^{2} = 1/ λ$ を満たす数とする（ $μ \neq = 0$ ）。 $v (x) = u (0) cos (μx)$ は $v^{''} + μ^{2} v = 0$ , $v (0) = u (0)$ , $v^{'} (0) = 0 = u^{'} (0)$ を満たすので、解の一意性より $u (x) = u (0) cos (μx)$ 。 $u \neq \equiv 0$ だから $u (0) \neq = 0$ であり、 $u (1) = 0$ から $cos μ = 0$ 。

複素数 $μ$ について $cos μ = \frac{e ^{i μ} + e ^{- i μ}}{2} = 0 ⟺ e^{2 i μ} = - 1 ⟺ 2 i μ = (2 k + 1) π i (k \in Z) ⟺ μ = \frac{( 2 k + 1 ) π}{2} (k \in Z)$ 。したがって $μ$ は実数で
$λ = \frac{1}{μ ^{2}} = \frac{4}{( 2 k + 1 ) ^{2} π ^{2}} .$
$k \in Z$ のとき $∣2 k + 1∣$ は正の奇数全体を動くので、 $∣2 k + 1∣ = 2 n - 1$ （ $n \geq 1$ ）と書けて $λ = \frac{4}{( 2 n - 1 ) ^{2} π ^{2}}$ である。

Step 4: 逆に、これらはすべて固有値. $n \geq 1$ に対し $μ_{n} = \frac{( 2 n - 1 ) π}{2}$ , $f_{n} (x) = cos (μ_{n} x)$ とおく。 $f_{n}$ は連続で $L^{2} (0, 1)$ の $0$ でない元である（ $f_{n} (0) = 1$ で連続だから $0$ の近くで $∣ f_{n} ∣ > \frac{1}{2}$ ）。 $F (s) = \int_{0}^{s} cos (μ_{n} t) d t = \frac{sin ( μ _{n} s )}{μ _{n}}$ だから、 $(1)$ より
$(K f_{n}) (x) = \int_{x}^{1} \frac{sin ( μ _{n} s )}{μ _{n}} d s = \frac{cos ( μ _{n} x ) - cos μ _{n}}{μ _{n}^{2}} = \frac{cos ( μ _{n} x )}{μ _{n}^{2}},$
ここで $cos μ_{n} = cos (nπ - \frac{π}{2}) = 0$ を用いた。よって $K f_{n} = \frac{1}{μ _{n}^{2}} f_{n} = \frac{4}{( 2 n - 1 ) ^{2} π ^{2}} f_{n}$ であり、 $\frac{4}{( 2 n - 1 ) ^{2} π ^{2}}$ は固有値である。

結論. Step 2〜4 より、 $K$ の固有値全体の集合は ${\frac{4}{( 2 n - 1 ) ^{2} π ^{2}} n = 1, 2, 3, \dots}$ に一致する。

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