フーリエ解析の問題

$[-\pi ,\pi ]$ 上の関数 $f(x)=\cos \frac{x}{3}$ を周期 $2\pi$ で $\mathbb{R}$ 全体に拡張した関数（同じ記号 $f$ で表す）のフーリエ級数 $$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$ を求め、それを $x=\pi$ で考えることにより、無限級数 $$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{9n^2-1}$$ の値を求めよ。

区間 $[-\pi ,\pi ]$ 上の関数 $f,g$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& (-\pi \le x<0)\\ 1& (0\le x\le \pi )\end{array},g(x)=x({\pi }^2-x^2)$$
で定める。複素フーリエ係数を
$$c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx,d_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }g(x)e^{-inx}dx(n\in \mathbb{Z})$$
とし、内積型のパーセバルの等式
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\overline{g(x)}dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n\overline{d_n}$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^4}$$
の和を求めよ。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $h,f$ を
$$h(x)=\{\begin{array}{ll}1-|x|& (|x|\le 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array},f(x)=e^{-x^2}$$
で定め、その畳み込みを
$$u(x)=(h\ast f)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(y)f(x-y)dy$$
とする。$u$ は $\mathbb{R}$ 上で何回でも微分可能である。$u^{\prime \prime }(1)$ の値を求めよ。

$f\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ のフーリエ変換を
$$\hat{f}(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-ix\xi }dx$$
で定める。この規約では、$f,g\in L^1(\mathbb{R})\cap L^2(\mathbb{R})$ に対してプランシュレルの等式
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\hat{f}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}d\xi$$
が成り立つ。また、区間 $[-1,1]$ の指示関数 $1_{[-1,1]}$ と関数 $e^{-|x|}$ について
$$\widehat{1_{[-1,1]}}(\xi )=\frac{2\sin \xi }{\xi },\widehat{e^{-|x|}}(\xi )=\frac{2}{1+{\xi }^2}$$
である（$\xi =0$ では左の式の値は $2$ とする）。これらを用いて、広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\sin \xi }{\xi (1+{\xi }^2)}d\xi$$
の値を求めよ。ただし被積分関数の $\xi =0$ での値は極限値 $1$ で補うものとする。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $f,g$ を
$$f(x)=|x|e^{-|x|},g(x)={\chi }_{[0,1]}(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0\le x\le 1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$u(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。$u$ を $\mathbb{R}$ 上の緩増加超関数とみなし、超関数の意味での微分を用いて
$$T={\left(\frac{d^2}{d{x}^2}-1\right)}^{2}u=u^{\prime \prime \prime \prime }-2u^{\prime \prime }+u$$
とおく。急減少関数 $\phi (x)=x{e}^{-x^2}$ に対して $⟨T,\phi ⟩$ の値を求めよ。ただし超関数 $S$ の微分は $⟨S^{\prime },\phi ⟩=-⟨S,{\phi }^{\prime }⟩$ で定め、局所可積分関数 $h$ と同一視される超関数は $⟨h,\phi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }h(x)\phi (x)dx$ で作用するものとする。