フーリエ解析の問題

$\mathbb{R}$ 上の関数 $f,g$ を
$$f(x)=|x|e^{-|x|},g(x)={\chi }_{[0,1]}(x)=\{\begin{array}{ll}1& (0\le x\le 1)\\ 0& (\text{otherwise})\end{array}$$
で定め、その畳み込みを
$$u(x)=(f\ast g)(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x-y)g(y)dy$$
とする。$u$ を $\mathbb{R}$ 上の緩増加超関数とみなし、超関数の意味での微分を用いて
$$T={\left(\frac{d^2}{d{x}^2}-1\right)}^{2}u=u^{\prime \prime \prime \prime }-2u^{\prime \prime }+u$$
とおく。急減少関数 $\phi (x)=x{e}^{-x^2}$ に対して $⟨T,\phi ⟩$ の値を求めよ。ただし超関数 $S$ の微分は $⟨S^{\prime },\phi ⟩=-⟨S,{\phi }^{\prime }⟩$ で定め、局所可積分関数 $h$ と同一視される超関数は $⟨h,\phi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }h(x)\phi (x)dx$ で作用するものとする。

$\mathbb{R}$ 上の関数 $u$ を $$u(x)=\{\begin{array}{ll}1-x^2& (|x|\le 1)\\ 0& (|x|>1)\end{array}$$ で定め、$u$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなす。$T=u^{\prime \prime }$ を $u$ の超関数の意味での $2$ 階導関数とし、$g(x)=x^4$ とおく。$T$ はコンパクトな台をもつ超関数であるから、畳み込み $$(T\ast g)(x)=⟨T_y,g(x-y)⟩(x\in \mathbb{R})$$ が定義される。$(T\ast g)(x)$ を $x$ の式で求めよ。

区間 $[-\pi ,\pi ]$ 上の関数 $f,g$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& (-\pi \le x<0)\\ 1& (0\le x\le \pi )\end{array},g(x)=x({\pi }^2-x^2)$$
で定める。複素フーリエ係数を
$$c_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx,d_n=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }g(x)e^{-inx}dx(n\in \mathbb{Z})$$
とし、内積型のパーセバルの等式
$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\overline{g(x)}dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n\overline{d_n}$$
を用いて、無限級数
$$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{(2k-1{)}^4}$$
の和を求めよ。

区間 $-\pi <x\le \pi$ で
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}0& (-\pi <x<0)\\ x& (0\le x\le \pi )\end{array}$$
と定め、これを周期 $2\pi$ で $\mathbb{R}$ 全体に拡張した関数を同じ記号 $f$ で表す。$f$ のフーリエ級数を
$$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right),a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx,b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$$
とする。区分的に $C^1$ 級の周期関数のフーリエ級数は各点 $x$ で $\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$ に収束することを用いてよい。このフーリエ級数に $x=\pi$ を代入することにより、無限級数
$$S=\sum _{m=0}^{\infty }\frac{1}{(2m+1{)}^2}$$
の値を求めよ。ただし $m$ は $0$ 以上の整数を動く。

実数直線 $\mathbb{R}$ 上の関数 $u$ を
$$u(x)=\{\begin{array}{ll}(x+2)e^{-x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$
で定め、$u$ を $\mathbb{R}$ 上の超関数とみなす。超関数の意味での微分を用いて $w=u^{\prime \prime }+2u^{\prime }+u$ とおき、$g(x)=e^{-x^2}$ とする。畳み込み $w\ast g$ は $\mathbb{R}$ 上の $C^{\infty }$ 級関数である。その $x=1$ における値 $(w\ast g)(1)$ を求めよ。