整数論の問題

方針　$\tau (m)={\sum }_{d\mid m}1$ と書き直し、「$m$ を固定して約数 $d$ を数える」和を「$d$ を固定してその倍数 $m$ を数える」和に入れかえます。以下、実数 $t$ に対し $\lfloor t\rfloor$ は $t$ 以下の最大の整数を表します。

手順 1：約数にわたる和で書く
$$S=\sum _{m=1}^{20}\tau (m)=\sum _{m=1}^{20}\sum _{d\mid m}1.$$
これは、$1\le m\le 20$ かつ $d\mid m$ を満たす正の整数の組 $(d,m)$ の個数です。

手順 2：和の順序を入れかえる
同じ組を $d$ ごとに数えます。$d\mid m$ かつ $m\le 20$ なら $1\le d\le 20$ です。$d$ を固定すると、$m$ は $20$ 以下の $d$ の倍数 $d,2d,3d,\dots$ で、その個数は $\lfloor \frac{20}{d}\rfloor$ 個です。よって
$$S=\sum _{d=1}^{20}\lfloor \frac{20}{d}\rfloor .$$

手順 3：計算する
$\lfloor \frac{20}{d}\rfloor$ の値は
- $d=1$: $20$、$d=2$: $10$、$d=3$: $6$、$d=4$: $5$、$d=5$: $4$、$d=6$: $3$
- $d=7,8,9,10$: それぞれ $2$（計 $8$）
- $d=11,\dots ,20$: それぞれ $1$（計 $10$）

したがって
$$S=20+10+6+5+4+3+8+10=66.$$

確認　直接 $\tau (1),\dots ,\tau (20)$ を並べると $1,2,2,3,2,4,2,4,3,4,2,6,2,4,4,5,2,6,2,6$ で、和は $66$ となり一致します。

答え：$66$

${\sum }_{m=1}^{20}\tau (m)={\sum }_{d=1}^{20}\#\{m\le 20:d\mid m\}={\sum }_{d=1}^{20}\lfloor 20/d\rfloor$ と和の順序を入れかえる。

各項は次のとおり。
$d=1$: 20, $d=2$: 10, $d=3$: 6, $d=4$: 5, $d=5$: 4, $d=6$: 3, $d=7$: 2, $d=8$: 2, $d=9$: 2, $d=10$: 2, $d=11,\dots ,20$: 各 1 で 10 個分で 10。

合計は $20+10=30$, $+6=36$, $+5=41$, $+4=45$, $+3=48$, $+2\cdot 4=56$, $+10=66$。

検算として $\tau (m)$ を直接足す。$m=1,\dots ,20$ で $\tau$ は 1,2,2,3,2,4,2,4,3,4,2,6,2,4,4,5,2,6,2,6。
累積和は 1,3,5,8,10,14,16,20,23,27,29,35,37,41,45,50,52,58,60,66 となり、一致する。

答えは 66。