整数論の問題

方針 $\tau (m)$ を約数にわたる和 $\tau (m)=\sum _{d\mid m}1$ と書き、和の順序を入れかえます。

手順1（約数にわたる和で書く）
$$S=\sum _{m=1}^{20}\tau (m)=\sum _{m=1}^{20}\sum _{d\mid m}1.$$
これは「$1\le m\le 20$ と、$m$ の正の約数 $d$ の組 $(d,m)$ の個数」を数えています。

手順2（和の順序を入れかえる）
同じ組を、先に $d$ を固定して数えます。$d$ を固定すると、$d\mid m$ かつ $1\le m\le 20$ を満たす $m$ は $d,2d,3d,\dots$ のうち $20$ 以下のもので、その個数は $\lfloor \frac{20}{d}\rfloor$ 個です。よって
$$S=\sum _{d=1}^{20}\lfloor \frac{20}{d}\rfloor .$$
（これは公式 ${\sum }_{n\le N}f(n)\lfloor N/n\rfloor ={\sum }_{m\le N}{\sum }_{d\mid m}f(d)$ で $f(n)=1$ とした場合です。）

手順3（計算する）
$d=1,2,\dots ,20$ に対する $\lfloor \frac{20}{d}\rfloor$ は
- $d=1$: $20$
- $d=2$: $10$
- $d=3$: $6$
- $d=4$: $5$
- $d=5$: $4$
- $d=6$: $3$
- $d=7,8,9,10$: それぞれ $2$（合計 $8$）
- $d=11,\dots ,20$: それぞれ $1$（合計 $10$）

したがって
$$S=20+10+6+5+4+3+8+10=66.$$

確認 直接 $\tau (1),\dots ,\tau (20)$ を並べると $1,2,2,3,2,4,2,4,3,4,2,6,2,4,4,5,2,6,2,6$ で、和は $66$ となり一致します。

答え: $S=66$

約数の個数の和は、組 $(d,n)$ で $d\mid n$, $1\le n\le 20$ を満たすものの個数である。和の順序を入れかえると $$S=\sum _{n=1}^{20}\sum _{d\mid n}1=\sum _{d=1}^{20}\#\{n\le 20:d\mid n\}=\sum _{d=1}^{20}\lfloor \frac{20}{d}\rfloor .$$
各項を計算する。
$d=1$: 20, $d=2$: 10, $d=3$: 6, $d=4$: 5, $d=5$: 4, $d=6$: 3, $d=7$: 2, $d=8$: 2, $d=9$: 2, $d=10$: 2, $d=11$ から $20$: 各 1 で 10 個。
合計は $20+10+6+5+4+3+2+2+2+2+10=66$。
検算として $\tau (n)$ を直接足す。$n=\mathrm{1..20}$ の $\tau$ は 1,2,2,3,2,4,2,4,3,4,2,6,2,4,4,5,2,6,2,6。累計は 1,3,5,8,10,14,16,20,23,27,29,35,37,41,45,50,52,58,60,66。よって 66 で一致する。