整数論の問題

$F(n)=\sum _{d\mid n}\tau (d)$ とおく。$\tau$ は乗法的関数であり、乗法的関数 $f$ に対して $\sum _{d\mid n}f(d)$ も乗法的関数になるので、$F$ は乗法的である。

素因数分解すると $$720=2^4\cdot 3^2\cdot 5$$ なので $$F(720)=F(2^4)F(3^2)F(5).$$

素数 $p$ と正の整数 $a$ について、$p^a$ の約数は $p^i$（$i=0,1,\dots ,a$）で $\tau (p^i)=i+1$ だから $$F(p^a)=\sum _{i=0}^a(i+1)=1+2+\cdots +(a+1)=\frac{(a+1)(a+2)}{2}.$$

よって
- $F(2^4)=\frac{5\cdot 6}{2}=15$
- $F(3^2)=\frac{3\cdot 4}{2}=6$
- $F(5)=\frac{2\cdot 3}{2}=3$

したがって $$T=15\cdot 6\cdot 3=270.$$

$720=2^4\cdot 3^2\cdot 5$。$f(m)={\sum }_{d\mid m}\tau (d)$ は乗法的関数（$\tau$ が乗法的で、約数の和をとる操作も乗法性を保つ）。
素数べき $p^a$ では ${\sum }_{i=0}^a\tau (p^i)={\sum }_{i=0}^a(i+1)=\frac{(a+1)(a+2)}{2}$。
- $2^4$: $15$
- $3^2$: $6$
- $5^1$: $3$

よって $T=15\cdot 6\cdot 3=270$。

検算: ${\sum }_{d\mid n}\tau (d)={\sum }_{d\mid n}{\sum }_{e\mid d}1$ は $n$ の約数の列 $e\mid d\mid n$ の個数で、各素数について指数 $0\le i\le j\le a$ の組 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{a+2}{2}\right)$ 個を数えるので同じ値になる。