整数論の問題

$\mu (n{)}^2$ は、$n$ が平方因子をもたない（$1$ より大きいどんな平方数でも割り切れない）とき $1$、そうでないとき $0$ である。したがって $S$ は $1$ 以上 $300$ 以下の平方因子をもたない整数の個数である。

恒等式の準備. 正の整数 $n$ は、$b$ を平方因子をもたない整数として $n=a^{2}b$ とただ一通りに表せる。このとき、正の整数 $d$ について $d^2\mid n⟺d\mid a$ が成り立つ。よって、メビウス関数の基本性質 ${\sum }_{d\mid a}\mu (d)=[a=1]$ より
$$\sum _{d^2\mid n}\mu (d)=\sum _{d\mid a}\mu (d)=\{\begin{array}{ll}1& (a=1)\\ 0& (a>1)\end{array}$$
となる。$a=1$ は $n$ が平方因子をもたないことと同値なので、
$$\mu (n{)}^2=\sum _{d^2\mid n}\mu (d)$$
が成り立つ。

和の交換. これを代入して和の順序を入れ替える。$d^2\mid n$ かつ $n\leqq 300$ をみたす $n$ の個数は $\lfloor \frac{300}{d^2}\rfloor$ なので、
$$S=\sum _{n=1}^{300}\sum _{d^2\mid n}\mu (d)=\sum _{d=1}^{17}\mu (d)\lfloor \frac{300}{d^2}\rfloor$$
となる。ここで $d^2\leqq 300$ より $d\leqq 17$ である。

各項の計算. $d=4,8,9,12,16$ では $\mu (d)=0$ なので、残りの $d$ について計算する。
- $d=1$: $\mu =1$, $\lfloor 300/1\rfloor =300$
- $d=2$: $\mu =-1$, $\lfloor 300/4\rfloor =75$
- $d=3$: $\mu =-1$, $\lfloor 300/9\rfloor =33$
- $d=5$: $\mu =-1$, $\lfloor 300/25\rfloor =12$
- $d=6$: $\mu =1$, $\lfloor 300/36\rfloor =8$
- $d=7$: $\mu =-1$, $\lfloor 300/49\rfloor =6$
- $d=10$: $\mu =1$, $\lfloor 300/100\rfloor =3$
- $d=11$: $\mu =-1$, $\lfloor 300/121\rfloor =2$
- $d=13$: $\mu =-1$, $\lfloor 300/169\rfloor =1$
- $d=14$: $\mu =1$, $\lfloor 300/196\rfloor =1$
- $d=15$: $\mu =1$, $\lfloor 300/225\rfloor =1$
- $d=17$: $\mu =-1$, $\lfloor 300/289\rfloor =1$

したがって
$$S=300-75-33-12+8-6+3-2-1+1+1-1=183$$
である。

$\mu (n{)}^2$ は $n$ が平方因子をもたないとき 1、そうでないとき 0 なので、$S$ は 300 以下の無平方数の個数に等しい。

包除原理（メビウス関数による表示）より
$$S=\sum _{d\ge 1}\mu (d)\lfloor \frac{300}{d^2}\rfloor$$
$d\le 17$ で $\mu (d)\ne 0$ となる項を計算する。
- $d=1$: $+300$
- $d=2$: $-75$
- $d=3$: $-33$
- $d=5$: $-12$
- $d=6$: $+8$
- $d=7$: $-6$
- $d=10$: $+3$
- $d=11$: $-2$
- $d=13$: $-1$
- $d=14$: $+1$
- $d=15$: $+1$
- $d=17$: $-1$

$d=4,8,9,12,16$ は $\mu (d)=0$ なので寄与しない。

合計は $300-75-33-12+8-6+3-2-1+1+1-1=183$。

検算として、無平方数の密度 $6/{\pi }^2\approx 0.6079$ を使うと $300\times 0.6079\approx 182.4$ となり、183 と整合する。