整数論の問題

$p=31$ とし、ルジャンドル記号を $\left(\frac{\cdot }{p}\right)$ で表す（$p\mid a$ のときは $\left(\frac{a}{p}\right)=0$ とする）。

手順 1：$y$ を固定して $x$ の個数を数える。
$y$ を 1 つ固定すると、条件は $x^2\equiv 5y^2+1(\mathrm{mod}p)$ となる。奇素数 $p$ について $x^2\equiv a(\mathrm{mod}p)$ の解 $x$ の個数は $1+\left(\frac{a}{p}\right)$ である（$a$ が平方剰余なら $2$ 個、平方非剰余なら $0$ 個、$a\equiv 0$ なら $1$ 個）。よって求める個数 $N$ は
$$N=\sum _{y=0}^{30}\left(1+\left(\frac{5y^2+1}{p}\right)\right)=31+\sum _{y=0}^{30}\left(\frac{5y^2+1}{p}\right).$$

手順 2：和を ${\sum }_y\left(\frac{y^2+c}{p}\right)$ の形にする。
$5\cdot 25=125=4\cdot 31+1$ より $5^{-1}\equiv 25(\mathrm{mod}31)$ なので、$5y^2+1\equiv 5(y^2+25)(\mathrm{mod}31)$。乗法性より
$$\sum _{y=0}^{30}\left(\frac{5y^2+1}{p}\right)=\left(\frac{5}{p}\right)\sum _{y=0}^{30}\left(\frac{y^2+25}{p}\right).$$

手順 3：公式を使う。
$p\nmid c$ のとき ${\sum }_{y=0}^{p-1}\left(\frac{y^2+c}{p}\right)=-1$ である。$c=25$ は $31$ で割り切れないので、この和は $-1$。
また $6^2=36\equiv 5(\mathrm{mod}31)$ より $5$ は平方剰余で、$\left(\frac{5}{31}\right)=1$（相互法則でも $\left(\frac{5}{31}\right)=\left(\frac{31}{5}\right)=\left(\frac{1}{5}\right)=1$）。

したがって
$$N=31+1\cdot (-1)=30.$$
（一般公式 $x^2+a{y}^2\equiv b$ の解の個数 $p-\left(\frac{-a}{p}\right)$ に $a=-5$ を代入した $31-\left(\frac{5}{31}\right)=30$ と一致する。）

答え：$30$ 個

まず $5$ が $31$ を法として平方剰余か調べる。$6^2=36\equiv 5(\mathrm{mod}31)$ なので、$5\equiv 6^2$ である。

よって $u=6y$ とおくと、$y\in \{0,\dots ,30\}$ と $u\in \{0,\dots ,30\}$ は $6$ が $31$ を法として可逆なので一対一に対応する。このとき合同式は $x^2-u^2\equiv 1$、すなわち $(x-u)(x+u)\equiv 1(\mathrm{mod}31)$ となる。

$a=x-u$、$b=x+u$ とおく。$31$ は奇素数で $2$ が可逆なので、$(x,u)\leftrightarrow (a,b)$ は一対一対応である（$x=(a+b)/2$、$u=(b-a)/2$）。

条件は $ab\equiv 1$ であり、$a$ は $0$ でない任意の剰余（$30$ 通り）で、$b=a^{-1}$ が一意に決まる。したがって解の個数は $30$ である。

検算：$(x,y)=(1,0)$ は解である。また $a=2$ のとき $b=16$、$x=9$、$u=7$ である。$y=7\cdot 6^{-1}$ で、$6\cdot 26=156=5\cdot 31+1$ より $6^{-1}=26$、$y=182\mathrm{mod}31=182-155=27$ となる。実際に $x^2-5y^2=81-5\cdot 729=81-3645=-3564$ で、$-3564+115\cdot 31=-3564+3565=1$ となり、$1(\mathrm{mod}31)$ と合う。

答えは $30$ である。