整数論の問題

$p=107$ とする。以下、ルジャンドル記号は $\left(\frac{0}{p}\right)=0$ と定める。

手順 1：$y$ を固定して $x$ の個数を数える。
$y$ を 1 つ固定すると、条件は $x^2\equiv 5-y^2(\mathrm{mod}p)$ となる。奇素数 $p$ について、$x^2\equiv a(\mathrm{mod}p)$ を満たす $x\in \{0,1,\dots ,p-1\}$ の個数は $1+\left(\frac{a}{p}\right)$ である。$a=0$ なら $x=0$ の 1 個、$a$ が平方剰余なら 2 個、平方非剰余なら 0 個となり、どの場合もこの式に一致する。よって求める個数 $N$ は
$$N=\sum _{y=0}^{p-1}\left(1+\left(\frac{5-y^2}{p}\right)\right)=p+\sum _{y=0}^{p-1}\left(\frac{5-y^2}{p}\right).$$

手順 2：和を ${\sum }_y\left(\frac{y^2+c}{p}\right)$ の形にする。
乗法性より $\left(\frac{5-y^2}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{y^2-5}{p}\right)$ なので
$$\sum _{y=0}^{p-1}\left(\frac{5-y^2}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\sum _{y=0}^{p-1}\left(\frac{y^2-5}{p}\right).$$

手順 3：公式 ${\sum }_y\left(\frac{y^2+c}{p}\right)=-1$（$p\nmid c$）を使う。
$c=-5$ で、$107\nmid 5$ なので ${\sum }_{y=0}^{p-1}\left(\frac{y^2-5}{p}\right)=-1$ である。したがって
$$N=p-\left(\frac{-1}{p}\right).$$

手順 4：$\left(\frac{-1}{107}\right)$ を求める。
補充法則 $\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$ より、$\frac{107-1}{2}=53$ は奇数なので $\left(\frac{-1}{107}\right)=-1$ である。

以上より
$$N=107-(-1)=108.$$

$p=107$ は奇素数で、$c=5\not\equiv 0(\mathrm{mod}107)$ である。${\mathbb{F}}_p$ 上の方程式 $x^2+y^2=c$（$c\ne 0$）の解の個数 $N$ を求める。\n\n$x^2$ の値が $u$ になる $x$ の個数は $1+\left(\frac{u}{p}\right)$ である（ルジャンドル記号）。よって\n$N={\sum }_{u+v=c}\left(1+\left(\frac{u}{p}\right)\right)\left(1+\left(\frac{v}{p}\right)\right)=p+{\sum }_u\left(\frac{u}{p}\right)+{\sum }_v\left(\frac{v}{p}\right)+{\sum }_u\left(\frac{u(c-u)}{p}\right)$。\n\n右辺の第2項と第3項は 0 である。第4項については、$u\ne 0$ のとき $\left(\frac{u(c-u)}{p}\right)=\left(\frac{u^2(c/u-1)}{p}\right)=\left(\frac{c/u-1}{p}\right)$ である。$u$ が $0$ 以外を動くと $c/u$ は $0$ 以外を動くので、和は ${\sum }_{w\ne 0}\left(\frac{w-1}{p}\right)=0-\left(\frac{-1}{p}\right)=-\left(\frac{-1}{p}\right)$ となる。\n\nゆえに $N=p-\left(\frac{-1}{p}\right)$ である。$107\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ より $\left(\frac{-1}{107}\right)=-1$ なので、$N=107+1=108$。\n\n検算：$p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ のとき、$x^2+y^2=c$ は射影的な円錐曲線 $x^2+y^2=c{z}^2$ の無限遠点（$x^2+y^2=0$ の非自明解）を持たないので、$p+1$ 個の点がすべてアフィン部分に現れる。これは 108 と一致する。