整数論の問題

$p=103$ とし、ルジャンドル記号 $\left(\frac{a}{p}\right)$ を使う（$p\mid a$ のときは $\left(\frac{a}{p}\right)=0$ とする）。

手順 1：$y$ を固定して $x$ の個数を数える。
$y$ を 1 つ固めると、条件は $x^2\equiv 7-y^2(\mathrm{mod}p)$ となる。$x^2\equiv a(\mathrm{mod}p)$ を満たす $x\in \{0,1,\dots ,p-1\}$ の個数は $1+\left(\frac{a}{p}\right)$ である（$a$ が平方剰余なら $2$ 個、非剰余なら $0$ 個、$a\equiv 0$ なら $1$ 個）。したがって、求める個数 $N$ は
$$N=\sum _{y=0}^{p-1}\left(1+\left(\frac{7-y^2}{p}\right)\right)=p+\sum _{y=0}^{p-1}\left(\frac{7-y^2}{p}\right).$$

手順 2：和を ${\sum }_y\left(\frac{y^2+c}{p}\right)$ の形にする。
乗法性より $\left(\frac{7-y^2}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{y^2-7}{p}\right)$ なので
$$\sum _{y=0}^{p-1}\left(\frac{7-y^2}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\sum _{y=0}^{p-1}\left(\frac{y^2-7}{p}\right).$$
$c=-7$ は $p=103$ で割り切れないので、公式 ${\sum }_{y=0}^{p-1}\left(\frac{y^2+c}{p}\right)=-1$（$p\nmid c$）が使えて、和は $-1$ である。よって
$$N=p-\left(\frac{-1}{p}\right).$$

手順 3：$\left(\frac{-1}{103}\right)$ を求める。
補充法則より $\left(\frac{-1}{103}\right)=(-1{)}^{\frac{103-1}{2}}=(-1{)}^{51}=-1$（$103\equiv 3(\mathrm{mod}4)$）。

手順 4：代入する。
$$N=103-(-1)=104.$$

答えは $104$ 個である。

$p=103$ は $103=4\cdot 25+3$ より $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ である。したがって $-1$ は平方非剰余であり、$\left(\frac{-1}{p}\right)=-1$ となる。

$c\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ のとき、$x^2+y^2\equiv c$ の解の個数は $p-\left(\frac{-1}{p}\right)$ である。

【導出】$u=x+iy$, $v=x-iy$ に相当する変換を使う。$p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ では ${\mathbb{F}}_{p^2}={\mathbb{F}}_p(i)$ であり、$x^2+y^2=N(x+iy)$ はノルムである。ノルム写像 ${\mathbb{F}}_{p^2}^{\times }\to {\mathbb{F}}_p^{\times }$ は全射で、各ファイバーの大きさは $(p^2-1)/(p-1)=p+1$ である。よって $c\ne 0$ のとき解は $p+1$ 個となる。

$c=7\not\equiv 0(\mathrm{mod}103)$ なので、解の個数は $103+1=104$ である。

【検算】小さい素数 $p=3$, $c=1$ で確かめる。解は $(\pm 1,0),(0,\pm 1)$ の 4 個で、$p+1=4$ と一致する。

答え: 104