整数論の問題

$\left(\frac{\cdot }{p}\right)$ をルジャンドル記号（$p$ の倍数に対しては $0$）とする。$u\in {\mathbb{F}}_p$ に対し、$x^2=u$ の解 $x$ の個数は $1+\left(\frac{u}{p}\right)$ である。また $3y^2=v$ は $y^2=3^{-1}v$ と同値なので、解 $y$ の個数は $1+\left(\frac{3^{-1}v}{p}\right)=1+\left(\frac{3v}{p}\right)$（$\left(\frac{3^{-1}}{p}\right)=\left(\frac{3}{p}\right)$ による）。

よって求める個数は
$$N=\sum _{u+v=5}\left(1+\left(\frac{u}{p}\right)\right)\left(1+\left(\frac{3v}{p}\right)\right)=p+\sum _u\left(\frac{u}{p}\right)+\sum _v\left(\frac{3v}{p}\right)+\sum _{u\in {\mathbb{F}}_p}\left(\frac{3u(5-u)}{p}\right).$$
第 2, 3 項は $0$（平方剰余と非剰余は同数）。第 4 項は 2 次式の指標和で、$a\ne 0$ かつ判別式 $b^2-4ac\ne 0$ のとき
$$\sum _u\left(\frac{a{u}^2+bu+c}{p}\right)=-\left(\frac{a}{p}\right)$$
が成り立つ。$3u(5-u)=-3u^2+15u$ の判別式は $225\ne 0$（$p\nmid 225$）なので、第 4 項は $-\left(\frac{-3}{p}\right)$。したがって
$$N=p-\left(\frac{-3}{p}\right).$$

$\left(\frac{-3}{p}\right)$ を求める。$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1{)}^{(p-1)/2}$ と平方剰余の相互法則 $\left(\frac{3}{p}\right)=(-1{)}^{(p-1)/2}\left(\frac{p}{3}\right)$ より
$$\left(\frac{-3}{p}\right)=\left(\frac{p}{3}\right).$$
$2027=3\cdot 675+2$ より $p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ なので $\left(\frac{p}{3}\right)=\left(\frac{2}{3}\right)=-1$。

よって $N=2027-(-1)=2028$。

$p=2027$ は $3$ を法として $2027=3\cdot 675+2$ より $p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$。$p$ は奇素数で $p\ne 3$。

一般に、奇素数 $p$、$c\not\equiv 0$ に対し、$x^2-D{y}^2\equiv c(\mathrm{mod}p)$（$D\not\equiv 0$）の解 $(x,y)\in {\mathbb{F}}_p^2$ の個数は $p-\left(\frac{D}{p}\right)$ である。

（導出）$x^2=c+D{y}^2$ なので、各 $y$ に対し解 $x$ の個数は $1+\left(\frac{c+D{y}^2}{p}\right)$。和をとると $p+{\sum }_y\left(\frac{c+D{y}^2}{p}\right)$。この和は、円錐曲線 $u^2-D{y}^2=c$ が ${\mathbb{F}}_p$ 上で $p-\left(\frac{D}{p}\right)$ 個の点をもつという標準的な事実（$u^2-D{y}^2=0$ の漸近方向が $\left(\frac{D}{p}\right)$ で決まる）から $-\left(\frac{D}{p}\right)$ となる。

ここでは $x^2+3y^2$ なので $D=-3$。平方剰余の相互法則から $\left(\frac{-3}{p}\right)=1⟺p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$。$p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ なので $\left(\frac{-3}{p}\right)=-1$。

よって個数は $p-(-1)=p+1=2028$。

確かめ（小さい素数で）: $p=5$, $x^2+3y^2\equiv c=1$: $5\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ なので公式は $6$ 個。実際 $y=0$: $x=\pm 1$ の 2 個、$y=\pm 1$: $x^2\equiv 1-3=-2\equiv 3$ 解なし、$y=\pm 2$: $x^2\equiv 1-12=-11\equiv 4$、$x=\pm 2$ で各 2 個の計 4 個、合計 $6$ 個で一致する。