整数論の問題

$p\geqq 7$ なので $p$ は $-6$ も $10$ も割り切らない。したがって、条件はルジャンドル記号を用いて
$$\left(\frac{-6}{p}\right)=1,\left(\frac{10}{p}\right)=1$$
と同値である。

各記号の計算. ルジャンドル記号の乗法性から
$$\left(\frac{-6}{p}\right)=\left(\frac{2}{p}\right)\left(\frac{-3}{p}\right),\left(\frac{10}{p}\right)=\left(\frac{2}{p}\right)\left(\frac{5}{p}\right).$$

• 第 2 補充法則より、$\left(\frac{2}{p}\right)=1⟺p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}8)$ である。
• 第 1 補充法則 $\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}$ と、平方剰余の相互法則 $\left(\frac{3}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{p}{3}\right)$ から、$\left(\frac{-3}{p}\right)=\left(\frac{p}{3}\right)$ である。よって $\left(\frac{-3}{p}\right)=1⟺p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ となる。
• 相互法則より $\left(\frac{5}{p}\right)=\left(\frac{p}{5}\right)$ である（$\frac{5-1}{2}=2$ が偶数のため）。よって $\left(\frac{5}{p}\right)=1⟺p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}5)$ となる。

場合分け. 2 つの積がともに $1$ になるのは、次の 2 つの場合である。

(A) $\left(\frac{2}{p}\right)=\left(\frac{-3}{p}\right)=\left(\frac{5}{p}\right)=1$ のとき。条件は $p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}8)$、$p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$、$p\equiv \pm 1(\mathrm{mod}5)$ である。
- 法 $24$ では $p\equiv 1,7(\mathrm{mod}24)$ となる。
- $1(\mathrm{mod}24)$ の数 $1,25,49,73,97$ のうち、法 $5$ で $\pm 1$ となるのは $1,49$ である。
- $7(\mathrm{mod}24)$ の数 $7,31,55,79,103$ のうち、法 $5$ で $\pm 1$ となるのは $31,79$ である。
- よって $p\equiv 1,31,49,79(\mathrm{mod}120)$ である。

(B) $\left(\frac{2}{p}\right)=\left(\frac{-3}{p}\right)=\left(\frac{5}{p}\right)=-1$ のとき。条件は $p\equiv \pm 3(\mathrm{mod}8)$、$p\equiv 2(\mathrm{mod}3)$、$p\equiv \pm 2(\mathrm{mod}5)$ である。
- 法 $24$ では $p\equiv 11,5(\mathrm{mod}24)$ となる。
- $11(\mathrm{mod}24)$ の数 $11,35,59,83,107$ のうち、法 $5$ で $\pm 2$ となるのは $83,107$ である。
- $5(\mathrm{mod}24)$ の数 $5,29,53,77,101$ のうち、法 $5$ で $\pm 2$ となるのは $53,77$ である。
- よって $p\equiv 53,77,83,107(\mathrm{mod}120)$ である。

$200$ 以下の素数の列挙. 条件は
$$p\equiv 1,31,49,53,77,79,83,107(\mathrm{mod}120)$$
である。$7\leqq n\leqq 200$ でこれをみたす整数は
$$31,49,53,77,79,83,107,121,151,169,173,197,199$$
である。このうち $49=7^2$、$77=7\cdot 11$、$121=11^2$、$169=13^2$ は素数でない。したがって条件をみたす素数は
$$31,53,79,83,107,151,173,197,199$$
である。

（確認：$p=31$ では $-6\equiv 25=5^2$、$10\equiv 14^2=196(\mathrm{mod}31)$ となり、確かに成り立つ。）

和の計算.
$$31+53+79+83+107+151+173+197+199=1073.$$

$p\ge 7$ なので $p$ は 2, 3, 5 と異なり、$p\nmid 6,10$ である。よって条件は平方剰余の記号で $\left(\frac{-6}{p}\right)=1$ かつ $\left(\frac{10}{p}\right)=1$ と書ける。

平方剰余の相互法則と第1・第2補充法則から次が分かる。
- $\left(\frac{-6}{p}\right)=1⟺p\equiv 1,5,7,11(\mathrm{mod}24)$
- $\left(\frac{10}{p}\right)=1⟺p\equiv \pm 1,\pm 3,\pm 9,\pm 13(\mathrm{mod}40)$

$7\le p\le 200$ の素数のうち、まず mod 24 の条件を満たすものは次の通り。
7, 11, 29, 31, 53, 59, 73, 79, 83, 97, 101, 103, 107, 127, 131, 149, 151, 173, 179, 193, 197, 199

このうち mod 40 の条件 $\{1,3,9,13,27,31,37,39\}$ も満たすものは次の通り。
31, 53, 79, 83, 107, 151, 173, 197, 199

和は $31+53+79+83+107+151+173+197+199=1073$。

検算: $p=31$ のとき $-6\equiv 25=5^2$、$10\equiv 14^2=196=6\cdot 31+10$ なので両方とも解をもつ。