整数論の問題

各合同式を $n\equiv \cdots$ の形に直す。

$2\cdot 4=8\equiv 1(\mathrm{mod}7)$ より、法 $7$ での $2$ の逆元は $4$。$2n\equiv 5(\mathrm{mod}7)$ の両辺に $4$ を掛けて $$n\equiv 20\equiv 6(\mathrm{mod}7).$$

$3\cdot 4=12\equiv 1(\mathrm{mod}11)$ より、法 $11$ での $3$ の逆元は $4$。$3n\equiv 2(\mathrm{mod}11)$ の両辺に $4$ を掛けて $$n\equiv 8(\mathrm{mod}11).$$

よって連立合同式 $$n\equiv 3(\mathrm{mod}4),n\equiv 6(\mathrm{mod}7),n\equiv 8(\mathrm{mod}11)$$ を解けばよい。$4,7,11$ は互いに素なので、中国剰余定理より解は法 $4\cdot 7\cdot 11=308$ でただ 1 つに定まる。

最初の 2 式: $n\equiv 6(\mathrm{mod}7)$ をみたす数 $6,13,20,27,\dots$ のうち $4$ で割って $3$ 余る最小のものは $27$。よって $n\equiv 27(\mathrm{mod}28)$。

3 式目と合わせる: $n=27+28k$（$k$ は整数）とおくと、$27\equiv 5$、$28\equiv 6(\mathrm{mod}11)$ より $$5+6k\equiv 8(\mathrm{mod}11)⟺6k\equiv 3(\mathrm{mod}11).$$ $6\cdot 2=12\equiv 1(\mathrm{mod}11)$ より両辺に $2$ を掛けて $k\equiv 6(\mathrm{mod}11)$。$k=6$ のとき $n=27+168=195$。よって $$n\equiv 195(\mathrm{mod}308).$$

（検算: $195=4\cdot 48+3$、$2\cdot 195=390=7\cdot 55+5$、$3\cdot 195=585=11\cdot 53+2$。）

$1000$ 以下の解: $195,195+308=503,503+308=811$ で、次の $1119$ は $1000$ を超える。よって求める和は $$195+503+811=1509.$$

$2n\equiv 5(\mathrm{mod}7)$ の両辺に $2$ の逆元 $4$ を掛けると $n\equiv 20\equiv 6(\mathrm{mod}7)$。$3n\equiv 2(\mathrm{mod}11)$ の両辺に $3$ の逆元 $4$ を掛けると $n\equiv 8(\mathrm{mod}11)$。

まず $n\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ と $n\equiv 6(\mathrm{mod}7)$ を合わせる。$6,13,20,27$ のうち $4$ で割って $3$ 余るのは $27$ なので $n\equiv 27(\mathrm{mod}28)$。
次に $n=27+28k$ を $n\equiv 8(\mathrm{mod}11)$ に代入する。$27\equiv 5$, $28\equiv 6$ なので $5+6k\equiv 8$、すなわち $6k\equiv 3(\mathrm{mod}11)$。$6$ の逆元は $2$ なので $k\equiv 6$。よって $n=27+168=195$ で、$n\equiv 195(\mathrm{mod}308)$。

検算: $195=4\cdot 48+3$、$2\cdot 195=390=7\cdot 55+5$、$3\cdot 195=585=11\cdot 53+2$ で、すべて成り立つ。

$1000$ 以下では $n=195,503,811$（次は $1119$ で超える）。和は $195+503+811=1509$。