整数論の問題

法 $4,5,7$ はどの 2 つも互いに素です。したがって中国剰余定理により、この連立合同式は $M=4\cdot 5\cdot 7=140$ を法とするただ 1 つの合同式 $x\equiv c(\mathrm{mod}140)$ にまとめられます。合同式を 1 つずつ合わせていきます。

手順 1：最初の 2 つをまとめる。
$x\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ より、整数 $k$ を用いて $x=1+4k$ と書けます。これを $x\equiv 2(\mathrm{mod}5)$ に代入すると
$$1+4k\equiv 2(\mathrm{mod}5)⟺4k\equiv 1(\mathrm{mod}5).$$
$4\cdot 4=16\equiv 1(\mathrm{mod}5)$ より $4^{-1}\equiv 4(\mathrm{mod}5)$ です。両辺に $4$ を掛けると $k\equiv 4(\mathrm{mod}5)$ となります。よって $k=4+5j$（$j$ は整数）と書けて
$$x=1+4(4+5j)=17+20j.$$
つまり、最初の 2 つは $x\equiv 17(\mathrm{mod}20)$ にまとまります。

手順 2：3 つ目と合わせる。
$x=17+20j$ を $x\equiv 5(\mathrm{mod}7)$ に代入します。$17\equiv 3,20\equiv 6\equiv -1(\mathrm{mod}7)$ なので
$$3-j\equiv 5(\mathrm{mod}7)⟺j\equiv -2\equiv 5(\mathrm{mod}7).$$
よって $j=5+7t$（$t$ は整数）と書けて
$$x=17+20(5+7t)=117+140t.$$
したがって、連立合同式は $x\equiv 117(\mathrm{mod}140)$ と同値です。

手順 3：最小の正の整数を選ぶ。
解は $\dots ,-23,117,257,\dots$ です。このうち正で最小のものは $117$ です。

検算
- $117=4\cdot 29+1$ より、$4$ で割った余りは $1$
- $117=5\cdot 23+2$ より、$5$ で割った余りは $2$
- $117=7\cdot 16+5$ より、$7$ で割った余りは $5$

以上より、答えは $117$ です。

$x\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ かつ $x\equiv 2(\mathrm{mod}5)$ から、$x=4k+1$ とおくと $4k+1\equiv 2(\mathrm{mod}5)$ なので $4k\equiv 1$、すなわち $-k\equiv 1$ より $k\equiv 4(\mathrm{mod}5)$。よって $k=5m+4$ で $x=20m+17$、つまり $x\equiv 17(\mathrm{mod}20)$。
次に $20m+17\equiv 5(\mathrm{mod}7)$ を考える。$20\equiv 6$、$17\equiv 3$ なので $6m+3\equiv 5$、$6m\equiv 2$、$-m\equiv 2$ より $m\equiv 5(\mathrm{mod}7)$。
よって $m=5$ のとき $x=20\cdot 5+17=117$。法 $4\cdot 5\cdot 7=140$ で一意に定まるので、最小の正の整数は $117$。
検算: $117=4\cdot 29+1$ より $117\equiv 1(\mathrm{mod}4)$。$117=5\cdot 23+2$ より $117\equiv 2(\mathrm{mod}5)$。$117=7\cdot 16+5$ より $117\equiv 5(\mathrm{mod}7)$。すべて成り立つ。