整数論の問題

法 $3,4,5$ はどの 2 つも互いに素です。したがって中国剰余定理より、この連立合同式の解は法 $M=3\cdot 4\cdot 5=60$ でただ 1 つに決まり、$x\equiv c(\mathrm{mod}60)$ の形にまとめられます。合同式を 1 つずつ合わせていきます。

手順 1：$x\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ と $x\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ をまとめる。
$x\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ をみたす数は、$0\leqq x<12$ では $1,5,9$ です。これらを $3$ で割った余りは順に $1,2,0$ なので、$x\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ もみたすのは $5$ だけです。よって
$$x\equiv 5(\mathrm{mod}12)$$
です。

手順 2：$x\equiv 5(\mathrm{mod}12)$ と $x\equiv 3(\mathrm{mod}5)$ をまとめる。
$x=5+12k$（$k$ は整数）とおいて、$x\equiv 3(\mathrm{mod}5)$ に代入します。$5\equiv 0$、$12\equiv 2(\mathrm{mod}5)$ なので
$$2k\equiv 3(\mathrm{mod}5)$$
となります。法 $5$ での $2$ の逆元は $3$ です（$2\cdot 3=6\equiv 1$）。両辺に $3$ を掛けると $k\equiv 9\equiv 4(\mathrm{mod}5)$ を得ます。そこで $k=4+5t$（$t$ は整数）とおくと
$$x=5+12(4+5t)=53+60t$$
となります。よって解全体は
$$x\equiv 53(\mathrm{mod}60)$$
です。

確認： $53=3\cdot 17+2$、$53=4\cdot 13+1$、$53=5\cdot 10+3$ なので、3 つの合同式をすべてみたします。

正の解は $53,113,173,\dots$ と続くので、最小のものは $53$ です。

$x\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ より $x=4k+1$。これを $x\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ に代入すると $4k+1\equiv k+1\equiv 2$、よって $k\equiv 1(\mathrm{mod}3)$。$k=3m+1$ とおくと $x=12m+5$。次に $x\equiv 3(\mathrm{mod}5)$ に代入すると $12m+5\equiv 2m\equiv 3(\mathrm{mod}5)$。2 の逆元は 3 なので $m\equiv 9\equiv 4(\mathrm{mod}5)$。$m=4$ のとき $x=12\cdot 4+5=53$。法は $3\cdot 4\cdot 5=60$ なので、解は $x\equiv 53(\mathrm{mod}60)$ であり、正の整数で最小のものは 53。検算: $53=3\cdot 17+2$ より余り 2、$53=4\cdot 13+1$ より余り 1、$53=5\cdot 10+3$ より余り 3。条件をすべて満たす。