整数論の問題

$2n^2+7=x^2$ とおく。$x$ は正の整数にとってよい。$y=n$ とすると、一般化ペル方程式
$$x^2-2y^2=7$$
の正の整数解 $(x,y)$（$x>0,y>0$）をすべて求める問題になる。$x^2-2y^2=1$ の基本解は $(3,2)$ であり、$(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=1$ である。

変換の準備. 整数の組 $(x,y)$ に対し
$$T(x,y)=(3x+4y,2x+3y),S(x,y)=(3x-4y,-2x+3y)$$
と定める。これらは $x+y\sqrt{2}$ にそれぞれ $3+2\sqrt{2}$、$3-2\sqrt{2}$ を掛ける操作である。$(3x\pm 4y{)}^2-2(\pm 2x+3y{)}^2=x^2-2y^2$ が展開により確かめられるので、$x^2-2y^2$ の値は変わらない。また $S$ と $T$ は互いに逆写像である。

$T$ の性質. $x>0,y>0$ の解 $(x,y)$ に対し、$T(x,y)$ も解で、$3x+4y>0$、$2x+3y>y$ をみたす。よって $T$ は正の解を、$y$ がより大きい正の解に移す。

$S$ による降下. $(x,y)$ を $x>0,y>0$ の解とし、$(x^{\prime },y^{\prime })=S(x,y)=(3x-4y,3y-2x)$ とする。
- $x^{\prime }>0$：$9x^2-16y^2=9(2y^2+7)-16y^2=2y^2+63>0$ より $3x>4y$。
- $y^{\prime }<y$：$y^{\prime }<y⟺y<x$ であり、$x^2=2y^2+7>y^2$ より成り立つ。
- $y^{\prime }>0$ となる条件：$y^{\prime }>0⟺3y>2x⟺9y^2>4x^2=8y^2+28⟺y^2>28$。$y^2=28$ となる整数 $y$ はないので、$y\geqq 6$ のとき $y^{\prime }>0$、$y\leqq 5$ のとき $y^{\prime }<0$ である。

したがって $y\geqq 6$ の正の解に $S$ を施すと、$y$ が真に小さい正の解が得られる。$y$ は正の整数なので、$S$ を繰り返すと有限回で $y\leqq 5$ の正の解に到達する。

$y\leqq 5$ の正の解. $2y^2+7$ は $y=1,2,3,4,5$ に対してそれぞれ $9,15,25,39,57$ であり、平方数になるのは $y=1$（$x=3$）と $y=3$（$x=5$）だけである。

よって、どの正の解も $S$ を $k$ 回（$k\geqq 0$）施すと $(3,1)$ または $(5,3)$ になる。$T$ は $S$ の逆写像なので、正の解はすべて $T^k(3,1)$ または $T^k(5,3)$ の形に表される。逆に、$T$ の性質からこれらはすべて正の解である。

2 つの列. $(3,1)$ から $T$ を繰り返すと
$$(3,1),(13,9),(75,53),(437,309),(2547,1801),\dots$$
$(5,3)$ から $T$ を繰り返すと
$$(5,3),(27,19),(157,111),(915,647),(5333,3771),\dots$$
各列で $y$ は真に増加する。また、2 つの列に共通の解はない。実際、$y\geqq 6$ の解に $S$ を施した結果は 1 通りに決まり、$y\leqq 5$ に初めて到達した解で降下は止まる。第 1 列の解は $(3,1)$ で止まり（途中の $y$ は $9$ 以上）、第 2 列の解は $(5,3)$ で止まる（途中の $y$ は $19$ 以上）。止まる先が異なるので、同じ解が両方の列に現れることはない。

検算. $2\cdot 1^2+7=9=3^2$、$2\cdot 3^2+7=25=5^2$、$2\cdot 9^2+7=169=13^2$、$2\cdot 19^2+7=729=27^2$、$2\cdot 53^2+7=5625=75^2$、$2\cdot 111^2+7=24649=157^2$、$2\cdot 309^2+7=190969=437^2$、$2\cdot 647^2+7=837225=915^2$。

和の計算. $n=y\leqq 1000$ をみたすのは
$$1,3,9,19,53,111,309,647$$
の 8 個である。各列の次の値は $1801,3771$ で、どちらも 1000 を超える。よって求める和は
$$1+3+9+19+53+111+309+647=1152.$$

$2n^2+7=m^2$ とおくと、$m^2-2n^2=7$ というペル型方程式になる。$m,n$ は正の整数とする。

基本解は $(m,n)=(3,1)$ と $(3,-1)$ である。$n=1$ のとき $9=3^2$ が成り立つ。

基本単数 $3+2\sqrt{2}$ を掛けると、解が次の漸化式で順に得られる。
$(m,n)\to (3m+4n,2m+3n)$

(i) $(3,1)$ から出発する場合
$(3,1)\to (13,9)\to (75,53)\to (437,309)\to (2547,1801)$
$n$ は $1,9,53,309,1801,\dots$ で、$n\le 1000$ をみたすのは $1,9,53,309$ である。

(ii) $(3,-1)$ から出発する場合
$(3,-1)\to (5,3)\to (27,19)\to (157,111)\to (915,647)\to (5333,3771)$
$n\le 1000$ をみたすのは $3,19,111,647$ である。

この2系列で全解がつくされる。ペル方程式 $m^2-2n^2=7$ の基本解の評価は $n\le 2\sqrt{7}/\sqrt{8}<2$ なので、$|n|\le 1$ の解 $(3,\pm 1)$ だけで足りる。

検算として、$2\cdot 647^2+7=837218+7=837225=915^2$ が成り立つ。$2\cdot 9^2+7=169=13^2$ も成り立つ。

和は $(1+9+53+309)+(3+19+111+647)=372+780=1152$ である。