整数論の問題

$7n^2+2=m^2$（$m$ は正の整数）とおくと、正の整数の組 $(x,y)=(m,n)$ についての不定方程式 $$x^2-7y^2=2\text{\hspace{1em}(∗)}$$ の解を調べればよい。

基本的な解と単数: $(x,y)=(3,1)$ は $9-7=2$ より $(\ast )$ の解。また $8^2-7\cdot 3^2=64-63=1$ なので $\epsilon =8+3\sqrt{7}$ はペル方程式 $x^2-7y^2=1$ の解（実は最小解）である。

解の生成: $(x,y)$ が $(\ast )$ の解なら $$(x+y\sqrt{7})(8+3\sqrt{7})=(8x+21y)+(3x+8y)\sqrt{7}$$ で、ノルムの乗法性 $(8x+21y{)}^2-7(3x+8y{)}^2=(x^2-7y^2)(8^2-7\cdot 3^2)=2$ より $(8x+21y,3x+8y)$ も正の解である。$(3,1)$ から順に $$(3,1)\to (45,17)\to (717,271)\to (11427,4319)\to \cdots$$ が得られる（例: $45^2-7\cdot 17^2=2025-2023=2$）。

すべての正の解がこれで尽くされること（降下法）: $(x,y)$ を $y\geqq 5$ の正の解とし、逆向きの変換 $$x^{\prime }=8x-21y,y^{\prime }=-3x+8y$$（$(x+y\sqrt{7})(8-3\sqrt{7})$ に対応）を考える。同様に $x^{\prime 2}-7y^{\prime 2}=2$ である。$x^2=7y^2+2$ を用いると
- $x^{\prime }>0⟺64x^2>441y^2⟺448y^2+128>441y^2$：常に成り立つ。
- $y^{\prime }>0⟺64y^2>9x^2⟺64y^2>63y^2+18⟺y^2>18$：$y\geqq 5$ で成り立つ。
- $y^{\prime }<y⟺3x>7y⟺9x^2>49y^2⟺63y^2+18>49y^2$：常に成り立つ。

よって $y\geqq 5$ の正の解からは、$y$ がより小さい正の解 $(x^{\prime },y^{\prime })$ が得られ、これは上の生成の逆操作である。これを繰り返すと有限回で $y\leqq 4$ の正の解に到達する。$y=1,2,3,4$ のとき $7y^2+2=9,30,65,114$ で、平方数は $9$ のみなので、到達先は $(3,1)$ に限る。したがって正の解はすべて $(3,1)$ から生成の操作を繰り返して得られるもの、すなわち $$x+y\sqrt{7}=(3+\sqrt{7})(8+3\sqrt{7}{)}^k(k=0,1,2,\dots )$$ に限る。

結論: $y$ の値は $1,17,271,4319,\dots$ と単調に増加し、$1000$ 以下のものは $1,17,271$ である。（確認: $7\cdot 271^2+2=7\cdot 73441+2=514089=717^2$。）

よって求める $n$ は $1,17,271$ である。

$m^2-7n^2=2$ の正の整数解 $(m,n)$ を考える。$n=1$ で $m=3$ が解（$9-7=2$）。$x^2-7y^2=1$ の基本解は $8+3\sqrt{7}$ なので、解は $m+n\sqrt{7}=(3+\sqrt{7})(8+3\sqrt{7}{)}^k$ から得られる。

• $k=0$: $(3,1)$、$n=1$
• $k=1$: $(3+\sqrt{7})(8+3\sqrt{7})=45+17\sqrt{7}$、$n=17$
• $k=2$: $(45+17\sqrt{7})(8+3\sqrt{7})=717+271\sqrt{7}$、$n=271$
• $k=3$: $11427+4319\sqrt{7}$、$n=4319>1000$

ほかの類がないことの確認: ノルム $2$ の解の基本解は $n\le \sqrt{2}\cdot 1/\sqrt{2(3+1)}\cdot 3\cdot$ の評価（$n\le y_1\sqrt{N}/\sqrt{2(x_1+1)}=3\sqrt{2}/\sqrt{18}=1$）により $n=1$ のみ。$3-\sqrt{7}$ は $(3+\sqrt{7})$ の類に $(8+3\sqrt{7}{)}^{-1}$ を掛けたものと一致するので同じ類（$(3-\sqrt{7})(8+3\sqrt{7})=3+\sqrt{7}$）。

検算: $7\cdot 1+2=9=3^2$、$7\cdot 17^2+2=2025=45^2$、$7\cdot 271^2+2=514089=717^2$。

よって $n=1,17,271$。