整数論の問題

ルジャンドル記号を $\chi (a)=\left(\frac{a}{p}\right)$ と書く（$p\mid a$ のとき $\chi (a)=0$）。$1\leqq n\leqq p-2$ では $n,n+1$ はともに $p$ で割り切れないので、$\chi (n),\chi (n+1)\in \{1,-1\}$ であり、
$$\frac{1+\chi (n)}{2}\cdot \frac{1-\chi (n+1)}{2}=\{\begin{array}{ll}1& (\chi (n)=1,\chi (n+1)=-1)\\ 0& (\text{それ以外})\end{array}$$
となる。したがって求める個数 $N$ は
$$N=\frac{1}{4}\sum _{n=1}^{p-2}(1+\chi (n)-\chi (n+1)-\chi (n)\chi (n+1)).$$

各項の和を求める。$\chi$ は法 $p$ の 0 でない剰余のうち半分で $1$、半分で $-1$ なので $\sum _{a=1}^{p-1}\chi (a)=0$ である。

• $\sum _{n=1}^{p-2}1=p-2$。
• $\sum _{n=1}^{p-2}\chi (n)=0-\chi (p-1)=-\chi (-1)$。
• $\sum _{n=1}^{p-2}\chi (n+1)=\sum _{m=2}^{p-1}\chi (m)=0-\chi (1)=-1$。
• $\sum _{n=1}^{p-2}\chi (n)\chi (n+1)$: $n=p-1$ を加えても項は $\chi (p-1)\chi (p)=0$ なので、$n=1,\dots ,p-1$ の和としてよい。$n\not\equiv 0$ のとき $n$ の逆元 $\bar{n}$ を用いて $$\chi (n)\chi (n+1)=\chi (n^2)\chi (1+\bar{n})=\chi (1+\bar{n}).$$ $n$ が $1,\dots ,p-1$ を動くと $\bar{n}$ も $0$ 以外の剰余をすべて 1 回ずつ動き、$1+\bar{n}$ は $1$ 以外の剰余をすべて 1 回ずつ動く。よって $$\sum _{n=1}^{p-1}\chi (n)\chi (n+1)=\sum _{a=0}^{p-1}\chi (a)-\chi (1)=0-1=-1.$$

以上より $$N=\frac{1}{4}((p-2)-\chi (-1)+1+1)=\frac{p-\chi (-1)}{4}.$$

$p=2027\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ なので、第 1 補充法則より $\chi (-1)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}}=-1$。よって $$N=\frac{2027+1}{4}=507.$$

（小さい例で確認: $p=7$ では平方剰余は $1,2,4$ で、条件をみたす $n$ は $2,4$ の $2$ 個。公式 $\frac{7+1}{4}=2$ と一致する。）

$\chi$ を法 $p$ のルジャンドル記号とする。$p=2027\equiv 3(\mathrm{mod}4)$ なので $\chi (-1)=-1$。
求める個数は $1\le n\le p-2=2025$ で $\chi (n)=1,\chi (n+1)=-1$ となる $n$ の個数 $N$。この範囲では $n,n+1$ はともに $p$ の倍数でない。

$N=\frac{1}{4}{\sum }_{n=1}^{p-2}(1+\chi (n))(1-\chi (n+1))=\frac{1}{4}[(p-2)+\sum \chi (n)-\sum \chi (n+1)-\sum \chi (n(n+1))]$。

• ${\sum }_{n=1}^{p-2}\chi (n)=0-\chi (p-1)=-\chi (-1)=1$
• ${\sum }_{n=1}^{p-2}\chi (n+1)={\sum }_{m=2}^{p-1}\chi (m)=0-\chi (1)=-1$
• ${\sum }_{n=1}^{p-2}\chi (n(n+1))=-1$（$n\ne 0,-1$ のとき $\chi (n(n+1))=\chi (1+n^{-1})$ で、$n^{-1}$ が $0,-1$ 以外を動くと $1+n^{-1}$ は $1,0$ 以外を動くから、和は $-\chi (1)=-1$）

よって $N=\frac{1}{4}[(p-2)+1+1+1]=\frac{p+1}{4}=\frac{2028}{4}=507$。

検算: 小さい素数 $p=7$（$\equiv 3\mathrm{mod}4$）で、平方剰余は $1,2,4$。$n=\mathrm{1..5}$ のうち $n$ が剰余で $n+1$ が非剰余: $n=2$（$3$ は非剰余）、$n=4$（$5$ は非剰余）、$n=1$（$2$ は剰余で不可）。個数 $2=(7+1)/4$ で公式と一致。