整数論の問題

ペル方程式への帰着 $3n+1=a^2,4n+1=b^2$（$a,b$ は正の整数）とおく。$4(3n+1)-3(4n+1)=1$ より
$$4a^2-3b^2=1,\text{すなわち}(2a{)}^2-3b^2=1.$$
逆に、正の整数 $a,b$ が $4a^2-3b^2=1$ を満たすとき、$4a^2\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ より $a^2\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ なので $n=(a^2-1)/3$ は 0 以上の整数であり、
$$4n+1=\frac{4a^2-4}{3}+1=\frac{4a^2-1}{3}=b^2$$
となる。$n$ が正であることは $a\ge 2$ と同値である。

したがって、ペル方程式 $X^2-3Y^2=1$ の正の整数解 $(X,Y)$ のうち、$X$ が偶数で $X\ge 4$ のものを求めればよく、$n=(X^2/4-1)/3$ は $X$ について増加なので、そのような解のうち $X$ が最小のものを探せばよい。

ペル方程式の解 $X^2-3Y^2=1$ の最小の正の整数解は $(X,Y)=(2,1)$ である（$Y=1$ で $X^2=4$）。ペル方程式の基本定理より、正の整数解は
$$X_k+Y_k\sqrt{3}=(2+\sqrt{3}{)}^k(k=1,2,3,\dots )$$
ですべて尽くされ、$X_k$ は $k$ について増加する。両辺に $2+\sqrt{3}$ を掛けると漸化式
$$X_{k+1}=2X_k+3Y_k,Y_{k+1}=X_k+2Y_k$$
が得られ、
$$(X_1,Y_1)=(2,1),(X_2,Y_2)=(7,4),(X_3,Y_3)=(26,15),(X_4,Y_4)=(97,56).$$

条件を満たす最小の解 $X_1=2$ は偶数だが $a=1$ となり $n=0$ なので不適。$X_2=7$ は奇数なので不適。$X_3=26$ は偶数で $a=13\ge 2$ だから条件を満たす。このとき $b=15$ で
$$n=\frac{13^2-1}{3}=\frac{168}{3}=56.$$

検算 $3\cdot 56+1=169=13^2$、$4\cdot 56+1=225=15^2$。

よって求める最小の $n$ は $56$ である。

$3n+1=a^2$, $4n+1=b^2$ ($a,b$ は正の整数) とおく。$n=(a^2-1)/3=(b^2-1)/4$ より $4a^2-4=3b^2-3$、すなわち
$$(2a{)}^2-3b^2=1.$$
$X=2a$ とおくと、$X^2-3b^2=1$ のペル方程式で $X$ が偶数のものを探す。基本解 $(2,1)$ から $X+b\sqrt{3}=(2+\sqrt{3}{)}^k$ を計算すると
- $k=1$: $(X,b)=(2,1)$、$a=1$、$n=0$（正でない）
- $k=2$: $(7,4)$、$X$ が奇数で不適
- $k=3$: $(26,15)$、$a=13$、$n=(169-1)/3=56$

$X$ はこの順に 2, 7, 26, ... で、正の $n$ を与える最小は $k=3$。

検算: $n=56$ のとき $3n+1=169=13^2$、$4n+1=225=15^2$。$n=1,\dots ,55$ に解がないことは、ペル方程式の解が $k=1,2,3$ の順に出ることから従う。