整数論の問題

$n(n+1)=6m^2$ の両辺を $4$ 倍して $1$ を足すと
$$(2n+1{)}^2=24m^2+1.$$
よって $X=2n+1$, $Y=m$ とおくと $X^2-24Y^2=1$。逆に、この方程式の正の整数解では $X^2=24Y^2+1$ は奇数なので $X$ は奇数で、$X\ge 5$ から $n=\frac{X-1}{2}$ は正の整数になり、$n(n+1)=6Y^2$ を満たす。したがって条件を満たす $n$ と、ペル方程式 $X^2-24Y^2=1$ の正の整数解は $n=\frac{X-1}{2}$ で 1 対 1 に対応し、$n$ の大小は $X$ の大小と一致する。

基本解は $Y=1$ のとき $24+1=25=5^2$ より $(X,Y)=(5,1)$。すべての正の整数解は $X_k+Y_k\sqrt{24}=(5+\sqrt{24}{)}^k$ で与えられる。
$$(5+\sqrt{24}{)}^2=25+24+10\sqrt{24}=49+10\sqrt{24},$$
$$(49+10\sqrt{24})(5+\sqrt{24})=245+240+(49+50)\sqrt{24}=485+99\sqrt{24}.$$
よって $X=5,49,485,\dots$ で、$n=2,24,242,\dots$。

3 番目は $n=242$。検算: $242\cdot 243=58806$, $6\cdot 99^2=6\cdot 9801=58806$。

$n(n+1)=6m^2$ の両辺を $4$ 倍して $1$ を足すと $(2n+1{)}^2=4n^2+4n+1=24m^2+1$。$u=2n+1$ として
$$u^2-24m^2=1$$
のペル方程式になる。逆に、この方程式の正の解 $(u,m)$ では $u^2=1+24m^2$ が奇数なので $u$ は奇数であり、$n=(u-1)/2$ は整数になる。

基本解は $(u,m)=(5,1)$（$25-24=1$）。すべての正の解は $u_k+m_k\sqrt{24}=(5+\sqrt{24}{)}^k$ で得られる。

・$k=1$: $(5,1)$、$n=2$。確認: $2\cdot 3=6=6\cdot 1^2$ ✓。
・$k=2$: $(5+\sqrt{24}{)}^2=49+10\sqrt{24}$、$(49,10)$、$n=24$。確認: $24\cdot 25=600=6\cdot 10^2$ ✓。
・$k=3$: $(49+10\sqrt{24})(5+\sqrt{24})=245+240+(49+50)\sqrt{24}=485+99\sqrt{24}$、$(485,99)$、$n=242$。確認: $242\cdot 243=58806$、$6\cdot 99^2=6\cdot 9801=58806$ ✓。

$n$ は $u$ とともに増加するので、小さい順の 3 番目は $n=242$。