整数論の問題

手順 1: ペル方程式の形に直す。

条件は
$$\frac{n(n+1)}{2}=m^2⟺n^2+n=2m^2$$
である。両辺を $4$ 倍して $1$ を加えると、
$$4n^2+4n+1=8m^2+1⟺(2n+1{)}^2-8m^2=1$$
となる。そこで $x=2n+1,y=m$ とおくと
$$x^2-8y^2=1(1)$$
というペル方程式になる。

手順 2: 対応を確かめる。

$n$ が正の整数なら $x=2n+1$ は $3$ 以上の奇数である。逆に $(1)$ の正の整数解では $x^2=1+8y^2$ は奇数なので $x$ は奇数であり、$y\geqq 1$ より $x\geqq 3$ である。よって $n=\frac{x-1}{2}$ は正の整数になる。したがって、条件を満たす $n$ と $(1)$ の正の整数解 $(x,y)$ は $n=\frac{x-1}{2}$ で 1 対 1 に対応し、$x$ が小さい順に並べれば $n$ も小さい順に並ぶ。

手順 3: 基本解を見つける。

$y=1$ のとき $x^2=8+1=9$ より $x=3$。よって基本解は $(x_1,y_1)=(3,1)$ で、すべての正の整数解は
$$x_k+y_k\sqrt{8}=(3+\sqrt{8}{)}^k(k=1,2,3,\dots )$$
で与えられる。漸化式で書くと
$$x_{k+1}=3x_k+8y_k,y_{k+1}=x_k+3y_k$$
である。

手順 4: 解の列を作る。

• $k=1$: $(x_1,y_1)=(3,1)$
• $k=2$: $(x_2,y_2)=(3\cdot 3+8\cdot 1,3+3\cdot 1)=(17,6)$
• $k=3$: $(x_3,y_3)=(3\cdot 17+8\cdot 6,17+3\cdot 6)=(99,35)$
• $k=4$: $(x_4,y_4)=(3\cdot 99+8\cdot 35,99+3\cdot 35)=(577,204)$

対応する $n=\frac{x_k-1}{2}$ は順に $1,8,49,288$ である。

確認: $n=288$ のとき $\frac{288\cdot 289}{2}=144\cdot 289=41616=204^2$ となり、条件を満たす。

よって 4 番目の $n$ は $288$ である。

$n(n+1)/2=m^2$ より $(2n+1{)}^2-8m^2=1$ となる。$x=2n+1$、$y=m$ とおくと、ペル方程式 $x^2-8y^2=1$ になる。基本解は $(3,1)$ で、解は $x_k+y_k\sqrt{8}=(3+\sqrt{8}{)}^k$ で得られる。

• $k=1$: $(x,y)=(3,1)$ より $n=1$
• $k=2$: $(17,6)$ より $n=8$
• $k=3$: $(99,35)$ より $n=49$
• $k=4$: $(577,204)$ より $n=288$

漸化式は $x_{k+1}=3x_k+8y_k$、$y_{k+1}=x_k+3y_k$ である。

検算: $288\cdot 289/2=144\cdot 289=41616=204^2$。これは平方数である。また、$n=2,\dots ,7$ では $\frac{n(n+1)}{2}=3,6,10,15,21,28$ で平方数でなく、$n=9,\dots ,48$ にも解はない（ペル方程式のすべての解は上記で尽くされる）。

$n=1$ は $1=1^2$ を満たすので 1 番目に数える。よって 4 番目は $n=288$。