整数論の問題

手順 1：基本解を見つける。
$y=1,2,3,\dots$ と順に代入し、$5y^2+1$ が平方数になるかを調べる。
- $y=1$: $5+1=6$（平方数でない）
- $y=2$: $20+1=21$（平方数でない）
- $y=3$: $45+1=46$（平方数でない）
- $y=4$: $80+1=81=9^2$

よって最小の正の整数解（基本解）は $(x_1,y_1)=(9,4)$ である。

手順 2：解の生成。
ペル方程式の正の整数解はすべて
$$x_k+y_k\sqrt{5}=(9+4\sqrt{5}{)}^k(k=1,2,3,\dots )$$
で与えられ、$k$ が大きいほど $x_k$ も大きいので、$x$ の小さい順で $k$ 番目の組が $(x_k,y_k)$ である。

$k=2$:
$$(9+4\sqrt{5}{)}^2=81+72\sqrt{5}+16\cdot 5=161+72\sqrt{5}$$
より $(x_2,y_2)=(161,72)$。

$k=3$: 漸化式 $x_{k+1}=x_1{x}_k+5y_1{y}_k,y_{k+1}=y_1{x}_k+x_1{y}_k$ を使うと
$$x_3=9\cdot 161+5\cdot 4\cdot 72=1449+1440=2889,$$
$$y_3=4\cdot 161+9\cdot 72=644+648=1292.$$

確認： $2889^2=8346321$、$5\cdot 1292^2=5\cdot 1669264=8346320$ で、差は $1$。確かに解である。

したがって 3 番目の組は $(2889,1292)$ であり、求める $y$ の値は $1292$。

ペル方程式 $x^2-5y^2=1$ の基本解は $(x,y)=(9,4)$ である。確認: $81-80=1$。$y=1,2,3$ のとき $5y^2+1=6,21,46$ で平方数でないので、$(9,4)$ が最小である。

一般解は $x_n+y_n\sqrt{5}=(9+4\sqrt{5}{)}^n$（$n\ge 1$）で与えられる。

$n=2$: $(9+4\sqrt{5}{)}^2=81+80+72\sqrt{5}=161+72\sqrt{5}$。よって $(161,72)$。確認: $161^2=25921$、$5\cdot 72^2=5\cdot 5184=25920$ で差は 1。

$n=3$: $(161+72\sqrt{5})(9+4\sqrt{5})=1449+644\sqrt{5}+648\sqrt{5}+288\cdot 5=1449+1440+1292\sqrt{5}=2889+1292\sqrt{5}$。よって $(2889,1292)$。

検算: $2889^2=8346321$。$1292^2=1669264$、$5\cdot 1669264=8346320$。差は 1 で成立する。

したがって 3 番目の組は $(2889,1292)$ で、$y=1292$。