整数論の問題

基本解を見つける。 $y=1,2,3,\dots$ と順に代入して、$7y^2+1$ が平方数になる最小の $y$ を探す。

• $y=1$: $7+1=8$（平方数でない）
• $y=2$: $28+1=29$（平方数でない）
• $y=3$: $63+1=64=8^2$

よって基本解は $(x_1,y_1)=(8,3)$ である。

解の生成。 すべての正の整数解は $x_k+y_k\sqrt{7}=(8+3\sqrt{7}{)}^k$（$k=1,2,3,\dots$）で与えられる。$k$ が大きいほど $x_k$ は大きいので、$x$ の小さい順に並べた 3 番目の組は $k=3$ の解である。$(x_k+y_k\sqrt{7})(8+3\sqrt{7})$ を展開すると、次の漸化式が得られる。
$$x_{k+1}=8x_k+21y_k,y_{k+1}=3x_k+8y_k$$

2 番目の解（$k=2$）。
$$x_2=8\cdot 8+21\cdot 3=64+63=127,y_2=3\cdot 8+8\cdot 3=24+24=48$$

3 番目の解（$k=3$）。
$$x_3=8\cdot 127+21\cdot 48=1016+1008=2024$$
$$y_3=3\cdot 127+8\cdot 48=381+384=765$$

検算。 $2024^2=4096576$、$7\cdot 765^2=7\cdot 585225=4096575$ であり、差は $1$ となって方程式をみたす。

したがって求める組は $(x,y)=(2024,765)$ である。

基本解は $y=3$ のとき $x^2=64$ より $(8,3)$（$y=1,2$ は $x^2=8,29$ で平方数でない）。すべての正の解は $x_n+y_n\sqrt{7}=(8+3\sqrt{7}{)}^n$ で与えられる。

$n=2$: $(8+3\sqrt{7}{)}^2=64+63+48\sqrt{7}=127+48\sqrt{7}$。よって $(127,48)$。
検算: $127^2=16129$, $7\cdot 48^2=7\cdot 2304=16128$ で差は 1。

$n=3$: $(127+48\sqrt{7})(8+3\sqrt{7})=1016+381\sqrt{7}+384\sqrt{7}+144\cdot 7=1016+1008+765\sqrt{7}=2024+765\sqrt{7}$。よって $(2024,765)$。
検算: $2024^2=4096576$。$765^2=585225$、$7\cdot 585225=4096575$。差は 1 で成り立つ。

$x$ の小さい順は $(8,3),(127,48),(2024,765)$ なので、3 番目は $(2024,765)$。