整数論の問題

手順 1: 基本解を見つける。

$y=1,2,\dots$ と小さい順に試し、$1+3y^2$ が平方数になるものを探す。

$y=1$ のとき $1+3\cdot 1^2=4=2^2$ である。よって $x=2$ となり、最小の正の整数解（基本解）は $(x_1,y_1)=(2,1)$ である。

手順 2: すべての正の整数解の形を書く。

ペル方程式の理論により、正の整数解はすべて
$$x_k+y_k\sqrt{3}=(2+\sqrt{3}{)}^k(k=1,2,3,\dots )$$
で与えられる。$k$ が大きいほど $x_k$ も大きいので、$x$ の小さい順に 3 番目の解は $k=3$ の解である。

手順 3: $(2+\sqrt{3}{)}^3$ を計算する。

まず 2 乗すると
$$(2+\sqrt{3}{)}^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3}$$
である。よって $(x_2,y_2)=(7,4)$ となる。

これにもう一度 $2+\sqrt{3}$ を掛けると
$$(7+4\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=14+7\sqrt{3}+8\sqrt{3}+12=26+15\sqrt{3}$$
となる。よって $(x_3,y_3)=(26,15)$ である。

（別解: 漸化式 $x_{k+1}=x_1{x}_k+d{y}_1{y}_k$, $y_{k+1}=y_1{x}_k+x_1{y}_k$ に $x_1=2$, $y_1=1$, $d=3$ を代入すると、$x_{k+1}=2x_k+3y_k$, $y_{k+1}=x_k+2y_k$ となる。$(x_2,y_2)=(7,4)$ から $x_3=2\cdot 7+3\cdot 4=26$, $y_3=7+2\cdot 4=15$ が得られ、同じ結果になる。）

手順 4: 検算する。

$26^2-3\cdot 15^2=676-675=1$ となり、確かに解である。

以上より、求める組は $(26,15)$ である。

基本解は $(x,y)=(2,1)$（$4-3=1$）。一般解は $x_n+y_n\sqrt{3}=(2+\sqrt{3}{)}^n$ で与えられる。
$(2+\sqrt{3}{)}^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3}$ より 2 番目は $(7,4)$。
$(2+\sqrt{3}{)}^3=(7+4\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=14+7\sqrt{3}+8\sqrt{3}+12=26+15\sqrt{3}$ より 3 番目は $(26,15)$。
検算: $26^2=676$、$3\cdot 15^2=3\cdot 225=675$ なので $676-675=1$ となり、条件をみたす。
小さい順に $(2,1),(7,4),(26,15)$ であり、$x=3,4,\dots ,25$ に解がないことは、解がすべて $(2+\sqrt{3}{)}^n$ の形であることから従う。