整数論の問題

ステップ 1：条件を式にする。
$1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$ なので、条件は
$$\frac{n(n+1)}{2}=m^2⟺n^2+n=2m^2$$
である。

ステップ 2：変数の置きかえでペル方程式に直す。
両辺を $4$ 倍して $1$ を加えると、$4n^2+4n+1=8m^2+1$、すなわち
$$(2n+1{)}^2-8m^2=1$$
となる。$x=2n+1,y=m$ とおくと
$$x^2-8y^2=1(1)$$
というペル方程式になる。

ステップ 3：対応を確かめる。
$(1)$ の正の整数解 $(x,y)$ では $x^2=1+8y^2$ が奇数なので $x$ は奇数であり、$y\geqq 1$ より $x\geqq 3$ である。よって $n=\frac{x-1}{2}$ は正の整数になる。逆に、条件をみたす $n,m$ からは $(1)$ の正の整数解 $(2n+1,m)$ が得られる。したがって、条件をみたす $n$ と $(1)$ の正の整数解は 1 対 1 に対応し、$x$ が大きいほど $n$ も大きい。

ステップ 4：基本解を見つけ、解を生成する。
$y=1$ とすると $x^2=9$ より $x=3$。よって基本解は $(x_1,y_1)=(3,1)$ である。すべての正の整数解は $x_k+y_k\sqrt{8}=(3+\sqrt{8}{)}^k$ で与えられ、漸化式は
$$x_{k+1}=3x_k+8y_k,y_{k+1}=x_k+3y_k$$
である。計算すると
- $k=1$：$(3,1)$
- $k=2$：$(3\cdot 3+8\cdot 1,3+3\cdot 1)=(17,6)$
- $k=3$：$(3\cdot 17+8\cdot 6,17+3\cdot 6)=(99,35)$
- $k=4$：$(3\cdot 99+8\cdot 35,99+3\cdot 35)=(577,204)$

ステップ 5：$n$ に戻す。
$n=\frac{x_k-1}{2}$ より、$n$ は小さい順に $1,8,49,288,\dots$ となる。4 番目は $n=288$ である。

確認：$\frac{288\cdot 289}{2}=144\cdot 289=41616=204^2$。

よって答えは $288$ である。

$n(n+1)/2=m^2$ となる正の整数 $n$ を求める。これは平方三角数の問題である。

両辺を 8 倍して整理すると $(2n+1{)}^2-8m^2=1$ となる。$x=2n+1$, $y=m$ とおくと、ペル方程式 $x^2-8y^2=1$ になる。

この方程式の基本解は $(3,1)$ である。解は $x+y\sqrt{8}=(3+\sqrt{8}{)}^k$ で与えられ、$k=1,2,3,4,\dots$ に対して順に次のようになる。
- $k=1$: $(x,y)=(3,1)$ より $n=1$
- $k=2$: $(17,6)$ より $n=8$
- $k=3$: $(99,35)$ より $n=49$
- $k=4$: $(577,204)$ より $n=288$

どの解も $x$ は奇数なので、$n=(x-1)/2$ は整数になる。$n=0$ にあたる $(1,0)$ は $n$ が正の整数でも $m$ が正の整数でもないので除く。

検算: $n=288$ のとき $288\cdot 289/2=144\cdot 289=41616=204^2$ となり、条件を満たす。また、$n=1,8,49$ の和はそれぞれ $1=1^2$, $36=6^2$, $1225=35^2$ で、これらの間に条件を満たす $n$ はない。

よって 4 番目の $n$ は 288 である。