整数論の問題

ステップ 1: 条件を式にする。
$$1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}=m^2$$
である。両辺を $8$ 倍すると $4n^2+4n=8m^2$ となる。両辺に $1$ を加えると
$$(2n+1{)}^2=8m^2+1$$
となる。

ステップ 2: 変数を置きかえてペル方程式にする。
$x=2n+1,y=m$ とおくと
$$x^2-8y^2=1$$
となる。逆に、この方程式の正の整数解 $(x,y)$ では $x^2=8y^2+1$ が奇数なので $x$ も奇数である。さらに $y\geqq 1$ より $x\geqq 3$ である。したがって $n=\frac{x-1}{2}$ は正の整数となる。よって、条件をみたす $n$ と、$x^2-8y^2=1$ の正の整数解は 1 対 1 に対応する。また、$x$ が大きいほど $n$ も大きい。

ステップ 3: 基本解を見つけて解の列を作る。
$y=1$ のとき $x^2=9$ なので $x=3$ である。よって基本解は $(x_1,y_1)=(3,1)$ である。すべての正の整数解は
$$x_k+y_k\sqrt{8}=(3+\sqrt{8}{)}^k(k=1,2,3,\dots )$$
で与えられ、$k$ が大きいほど $x_k$ も大きい。

• $k=1$: $(x,y)=(3,1)$ より $n=1$
• $k=2$: $(3+\sqrt{8}{)}^2=9+6\sqrt{8}+8=17+6\sqrt{8}$ より $(x,y)=(17,6)$ なので $n=8$
• $k=3$: $(17+6\sqrt{8})(3+\sqrt{8})=51+17\sqrt{8}+18\sqrt{8}+48=99+35\sqrt{8}$ より $(x,y)=(99,35)$ なので $n=49$

ステップ 4: 確かめ。
$n=49$ のとき、和は $\frac{49\cdot 50}{2}=1225=35^2$ となり、条件をみたす。小さい順に $n=1,8,49,\dots$ と並ぶので、3 番目の $n$ は $49$ である。

$n(n+1)/2=m^2$ とおく。$n$ と $n+1$ は互いに素なので、次の 2 通りに分かれる。
(i) $n=2a^2,n+1=b^2$ のとき、$b^2-2a^2=1$
(ii) $n=a^2,n+1=2b^2$ のとき、$a^2-2b^2=-1$
どちらも $x^2-2y^2=\pm 1$ の形のペル方程式で、解は $(x,y)=(1,1),(3,2),(7,5),(17,12),(41,29),\dots$ となる。
このとき $m=ab$ である。

小さい $n$ から順に調べる。
・$n=1$: 和は $1=1^2$ なので条件を満たす。
・$n=2,\dots ,7$: 和は $3,6,10,15,21,28$ で、どれも平方数でない。
・$n=8$: 和は $36=6^2$ なので条件を満たす。
・$n=9,\dots ,48$: ペル方程式の解の系列から、$n=1,8,49,288,\dots$ の間に他の解はない。
・$n=49$: 和は $49\cdot 50/2=1225=35^2$ なので条件を満たす。

よって条件を満たす $n$ は小さい順に $1,8,49,288,\dots$ となり、3 番目は $49$ である。
検算: $35^2=1225$ であり、$49\cdot 50/2=1225$ と一致する。