ペル型方程式への帰着

「 $3 n + 1$ と $4 n + 1$ がともに平方数」や「 $n (n + 1) = 6 m^{2}$ 」のような条件を、互いに素な因数への分解や変数の置きかえで $a x^{2} - b y^{2} = c$ や $x^{2} - d y^{2} = N$ の形に直し、ペル方程式の解を掛けて解の列を作って、条件を満たす $n$ を小さい順に求められる

前提

ペル方程式の解の生成（大学数学整数論）
最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）

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算数中学高校大学大学院

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ペル方程式の解の生成（大学数学整数論）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（数学A 整数の性質）

説明

「 $3 n + 1$ と $4 n + 1$ がともに平方数」「 $n (n + 1) = 6 m^{2}$ 」のような整数の条件は、そのままでは解く手がかりがつかみにくい問題です。そこで新しい文字を置いて $n$ を消去し、 $a x^{2} - b y^{2} = c$ の形に直します。さらに係数を平方の中に入れて $X^{2} - d Y^{2} = N$ の形にそろえると、ペル方程式 $x^{2} - d y^{2} = 1$ の解を使って解を次々に作れます。こうして、条件を満たす $n$ を小さい順に求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

「平方数である」という条件は「ある整数の 2 乗に等しい」と言いかえられます。たとえば $3 n + 1 = a^{2}, 4 n + 1 = b^{2}$ とおき、 $4 \times$ (前式) $- 3 \times$ (後式) を作ると $n$ が消えて $4 a^{2} - 3 b^{2} = 1$ になります。 $X = 2 a$ とおけば $X^{2} - 3 b^{2} = 1$ となり、ペル方程式そのものです。ただし「 $X$ は偶数」という条件が付きます。

積の形 $n (n + 1) = 6 m^{2}$ （ $n, m$ は正の整数）では、 $n$ と $n + 1$ が互いに素であること（公約数は差の $1$ を割り切るので $1$ だけ）を使います。素因数分解で各素数の指数を見ます。2, 3 以外の素数 $p$ は、右辺 $6 m^{2}$ での指数が偶数です。しかも $p$ は $n$ と $n + 1$ の一方にしか含まれないので、その一方での指数も偶数です。一方、素数 2 と 3 は右辺での指数が奇数で、やはりどちらか一方の因数にまとめて入ります。そのため、その因数での指数は奇数になります。そこで、 $n$ で指数が奇数の素数（2, 3 のうちのいくつか）の積を $u$ 、 $n + 1$ で指数が奇数の素数の積を $v$ とします。すると $n / u, (n + 1) / v$ はすべての指数が偶数なので平方数になり、 $n = u a^{2}, n + 1 = v b^{2}$ と書けます。2 と 3 はそれぞれちょうど一方に入るので $uv = 6$ で、 $m = ab$ です。どの分け方でも $v b^{2} - u a^{2} = 1$ の形になります。

解を作る操作がうまくいく理由は、次の恒等式にあります。 $(x + y d) (u + v d) = (xu + d y v) + (xv + y u) d$ が成り立ち、 $d$ の符号を逆にした $(x - y d) (u - v d) = (xu + d y v) - (xv + y u) d$ も成り立ちます。この 2 式を掛けると $(x^{2} - d y^{2}) (u^{2} - d v^{2}) = (xu + d y v)^{2} - d (xv + y u)^{2}$ が得られます。したがって $x^{2} - d y^{2} = N$ の解に $u^{2} - d v^{2} = 1$ の解を掛けても、値は $N \cdot 1 = N$ のままです。つまり、ペル方程式の解を掛けるたびに $X^{2} - d Y^{2} = N$ の新しい解が得られます。 $N = 1$ のときは、前提の技能により、基本解のべき $(x_{1} + y_{1} d)^{k}$ で正の整数解がすべて得られます。最後に、元の文字に戻すための条件（偶奇・整除・正であること）を満たす解だけを選びます。漸化式を 2 や 3 で割った余りで追うと、条件を満たす $k$ が規則的に現れることがよくあります。

手順

条件を式にする：平方数の条件は $3 n + 1 = a^{2}$ のように新しい文字でおく。積の条件 $n (n + 1) = 6 m^{2}$ は、 $n$ と $n + 1$ が互いに素であることを使い、 $n = u a^{2}, n + 1 = v b^{2}$ （ $uv = 6$ ）のすべての分け方に場合分けする。
$n$ を消去して、 $p a^{2} - q b^{2} = c$ の形を作る（例： $4 a^{2} - 3 b^{2} = 1$ ）。
係数を平方の中に入れて $X^{2} - d Y^{2} = N$ の形にする（例： $X = 2 a$ とおき $X^{2} - 3 b^{2} = 1$ ）。このとき生じる条件（ $X$ が偶数など）を書き留める。
ペル方程式 $x^{2} - d y^{2} = 1$ の基本解を見つけ、漸化式 $x_{k + 1} = x_{1} x_{k} + d y_{1} y_{k}, y_{k + 1} = y_{1} x_{k} + x_{1} y_{k}$ で解の列を作る。 $N \neq = 1$ なら、小さな解にペル方程式の解を掛けて列を作る。
列の中から、元の文字に戻す条件（偶奇・整除・ $n > 0$ ）を満たすものを選び、 $n$ を計算して小さい順に並べる。

例題

$3 n + 1$ と $4 n + 1$ がともに平方数となる最小の正の整数 $n$ を求めよ。

例題の解答

手順1： $3 n + 1 = a^{2}, 4 n + 1 = b^{2}$ （ $a, b$ は正の整数）とおく。

手順2： $4 (3 n + 1) - 3 (4 n + 1) = 1$ より $4 a^{2} - 3 b^{2} = 1$ となる。また、2 式の差をとると $n = b^{2} - a^{2}$ である。

手順3： $X = 2 a$ とおくと $X^{2} - 3 b^{2} = 1$ となり、 $X$ は偶数という条件が付く。逆に、 $X$ が偶数の正の整数解からは $a = X /2$ が正の整数として得られる。 $n = b^{2} - a^{2}$ とおけば、 $3 n + 1 = 3 b^{2} - 3 a^{2} + 1 = 4 a^{2} - 3 a^{2} = a^{2}$ 、 $4 n + 1 = 4 b^{2} - 4 a^{2} + 1 = b^{2}$ となり、条件を満たす。

手順4： $x^{2} - 3 y^{2} = 1$ の基本解は $(2, 1)$ である。漸化式は $x_{k + 1} = 2 x_{k} + 3 y_{k}, y_{k + 1} = x_{k} + 2 y_{k}$ で、 $(x_{k}, y_{k}) = (2, 1), (7, 4), (26, 15), (97, 56), \dots$ となる。2 で割った余りで見ると $x_{k + 1} \equiv y_{k}, y_{k + 1} \equiv x_{k}$ なので、 $x_{k}$ が偶数になるのは $k$ が奇数のときだけである。

手順5： $k = 1$ のとき $(X, b) = (2, 1)$ で、 $a = 1$ , $n = 0$ となる。これは正でないので除く。 $k = 3$ のとき $(X, b) = (26, 15)$ で、 $a = 13$ , $n = 225 - 169 = 56$ となる。確かめると $3 \cdot 56 + 1 = 169 = 1 3^{2}$ 、 $4 \cdot 56 + 1 = 225 = 1 5^{2}$ である。最小であることは次のように確かめる。 $3 n + 1 = a^{2}$ より $n = \frac{a ^{2} - 1}{3}$ は $a$ について増加する。また $x_{k}$ は $k$ とともに増加するので、 $a = x_{k} /2$ も $k$ とともに増加する。よって、 $n > 0$ となる解のうち $a$ が最小の $k = 3$ のとき $n$ も最小である。答えは $n = 56$ 。

答え: $56$

よくある誤り

$X^{2} - 3 b^{2} = 1$ の解をすべて使ってしまう誤り。 $(X, b) = (7, 4)$ からは $a = 7/2$ となり、整数になりません。正しくは、 $X = 2 a$ の偶奇条件を満たす解（ $k$ が奇数の解）だけを使います。
基本解から出る $n = 0$ を答えにしてしまう誤り。 $(X, b) = (2, 1)$ からは $n = 0$ が出ますが、これは正の整数ではありません。正しくは、これを除いて次の候補 $n = 56$ に進みます。
$n (n + 1) = 6 m^{2}$ を $n = 6 a^{2}, n + 1 = b^{2}$ の 1 通りだけで考えてしまう誤り。正しくは $(u, v) = (1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2)$ をすべて調べます。 $(1, 6)$ は $a^{2} - 6 b^{2} = - 1$ となり、3 で割った余りを見ると $a^{2} \equiv 2$ となるので解はありません。 $(3, 2)$ は $2 b^{2} - 3 a^{2} = 1$ となり、3 で割った余りを見ると $b^{2} \equiv 2$ となるので、これも解はありません。 $(2, 3)$ は $3 b^{2} - 2 a^{2} = 1$ で、 $(a, b) = (1, 1)$ から $n = 2$ （ $2 \cdot 3 = 6 \cdot 1^{2}$ ）が得られます。 $(6, 1)$ はペル方程式 $b^{2} - 6 a^{2} = 1$ で、基本解 $(b, a) = (5, 2)$ から $n = 24$ （ $24 \cdot 25 = 6 \cdot 1 0^{2}$ ）が得られます。
$X^{2} - d Y^{2} = N$ （ $N \neq = 1$ ）の解 1 つにペル方程式の解を掛ければ、すべての解が得られると思い込む誤り。たとえば $X^{2} - 2 Y^{2} = 7$ で $(3, 1)$ に $3 + 22$ を掛け続けると $(13, 9), (75, 53), \dots$ が得られますが、別の解 $(5, 3)$ はこの列に出てきません（ $(5, 3)$ は $(3 - 2) (3 + 22) = 5 + 32$ から出る別の列に属します）。正しくは、解の列が複数ある可能性を考え、小さな解を探して別の列がないか確かめます。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

ペル型方程式への帰着

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

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