整数論の問題

方針 法 $11$ は素数なので、フェルマーの小定理を使って指数を小さくする。

手順 1：定理が使えることを確かめる。
$11$ は素数で、$2$ は $11$ で割り切れないので $\gcd (2,11)=1$ である。したがって、フェルマーの小定理より
$$2^{10}\equiv 1(\mathrm{mod}11)$$
が成り立つ。

手順 2：指数を $10$ で割る。
$$2025=10\times 202+5$$
である。

手順 3：指数を下げる。
$$2^{2025}={\left(2^{10}\right)}^{202}\cdot 2^5\equiv 1^{202}\cdot 2^5=32(\mathrm{mod}11)$$

手順 4：残った値の余りを求める。
$32=11\times 2+10$ より、$32\equiv 10(\mathrm{mod}11)$ である。

よって、求める余りは $10$ である。

フェルマーの小定理より $2^{10}\equiv 1(\mathrm{mod}11)$。$2025=10\cdot 202+5$ なので $2^{2025}\equiv (2^{10}{)}^{202}\cdot 2^5\equiv 2^5=32(\mathrm{mod}11)$。$32=2\cdot 11+10$ より余りは $10$。検算：$2^5=32\equiv 10\equiv -1(\mathrm{mod}11)$ なので $2^{10}\equiv 1$ で整合する。$2^{2025}=2^{2020}\cdot 2^5\equiv 1\cdot (-1)\equiv 10$。