整数論の問題

ルジャンドル記号の乗法性から
$$\left(\frac{6}{13}\right)=\left(\frac{2}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right)$$
である。それぞれをオイラーの規準 $\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(\mathrm{mod}p)$ で計算する。$p=13$ なので $\frac{p-1}{2}=6$ である。

$\left(\frac{2}{13}\right)$ の計算
$$2^6=64=13\times 4+12\equiv 12\equiv -1(\mathrm{mod}13)$$
よって $\left(\frac{2}{13}\right)=-1$ である。

$\left(\frac{3}{13}\right)$ の計算
$3^3=27=13\times 2+1\equiv 1(\mathrm{mod}13)$ だから
$$3^6=(3^3{)}^2\equiv 1^2=1(\mathrm{mod}13)$$
よって $\left(\frac{3}{13}\right)=1$ である。

まとめ
$$\left(\frac{6}{13}\right)=(-1)\times 1=-1$$

（確認）直接 $6^6$ を計算すると、$6^2=36\equiv 10$、$6^3\equiv 10\times 6=60\equiv 8$、$6^6\equiv 8^2=64\equiv -1(\mathrm{mod}13)$ となり一致する。また、法 $13$ の平方剰余は $1^2,2^2,\dots ,6^2$ の余り $1,4,9,3,12,10$ であり、$6$ は含まれないので、$6$ は法 $13$ の平方非剰余である。

答え: $-1$

$13$ を法とする平方剰余を調べる。$1^2=1,2^2=4,3^2=9,4^2=16\equiv 3,5^2=25\equiv 12,6^2=36\equiv 10$ より、平方剰余は $\{1,3,4,9,10,12\}$ である。$6$ はこの中にないので平方非剰余であり、$\left(\frac{6}{13}\right)=-1$。

別解: 乗法性より $\left(\frac{6}{13}\right)=\left(\frac{2}{13}\right)\left(\frac{3}{13}\right)$。$13\equiv 5(\mathrm{mod}8)$ なので $\left(\frac{2}{13}\right)=-1$。$3$ は平方剰余なので $\left(\frac{3}{13}\right)=1$（$4^2\equiv 3$）。よって積は $-1$。

検算: オイラーの規準より $6^6\mathrm{mod}13$ を計算する。$6^2=36\equiv 10$, $6^4\equiv 100\equiv 9$, $6^6\equiv 9\cdot 10=90\equiv 12\equiv -1$。したがって $-1$ で一致する。