整数論の問題

方針：相互法則で「分子と分母」を入れかえ、分母より小さい数に還元することをくり返す。

手順 1（相互法則で入れかえる）
相互法則
$$\left(\frac{p}{q}\right)\left(\frac{q}{p}\right)=(-1{)}^{\frac{p-1}{2}\cdot \frac{q-1}{2}}$$
を $p=19,q=43$ に使う。$\frac{19-1}{2}=9$、$\frac{43-1}{2}=21$ で、$9\cdot 21=189$ は奇数だから右辺は $-1$ である。ルジャンドル記号の値は $\pm 1$ なので
$$\left(\frac{19}{43}\right)=-\left(\frac{43}{19}\right).$$

手順 2（分子を法で還元する）
$43=2\cdot 19+5$ より $43\equiv 5(\mathrm{mod}19)$ だから
$$\left(\frac{43}{19}\right)=\left(\frac{5}{19}\right).$$

手順 3（もう一度相互法則）
$p=5,q=19$ とすると $\frac{5-1}{2}=2$ は偶数なので右辺は $+1$ となり
$$\left(\frac{5}{19}\right)=\left(\frac{19}{5}\right).$$
$19\equiv 4(\mathrm{mod}5)$ で、$4=2^2$ は平方数だから
$$\left(\frac{19}{5}\right)=\left(\frac{4}{5}\right)=1.$$

まとめ
$$\left(\frac{19}{43}\right)=-\left(\frac{5}{19}\right)=-\left(\frac{19}{5}\right)=-\left(\frac{4}{5}\right)=-1.$$

（確認：$1^2,2^2,\dots ,21^2$ を $43$ で割った余りは $1,4,9,16,25,36,6,21,38,14,35,15,40,24,10,41,31,23,17,13,11$ であり、$19$ は含まれない。よって $19$ は法 $43$ の平方非剰余で、結果と一致する。）

よって答えは $-1$ である。

19 と 43 はともに奇素数で、19 ≡ 3 (mod 4)、43 ≡ 3 (mod 4) である。平方剰余の相互法則より、p ≡ q ≡ 3 (mod 4) のとき $\left(\frac{19}{43}\right)\left(\frac{43}{19}\right)=(-1{)}^{\frac{18}{2}\cdot \frac{42}{2}}=(-1{)}^{9\cdot 21}=-1$。よって $\left(\frac{19}{43}\right)=-\left(\frac{43}{19}\right)$。
43 ≡ 5 (mod 19) なので $\left(\frac{43}{19}\right)=\left(\frac{5}{19}\right)$。5 ≡ 1 (mod 4) なので $\left(\frac{5}{19}\right)=\left(\frac{19}{5}\right)=\left(\frac{4}{5}\right)=1$（4=2² は平方数）。したがって $\left(\frac{43}{19}\right)=1$ で、$\left(\frac{19}{43}\right)=-1$。
検算：43 を法とする平方数を調べる。19 が平方剰余なら x²≡19 (mod 43) に解がある。43 を法とする平方剰余は 1,4,9,16,25,36,6(49),21(64),38(81),14(100),35(121),15(144),38... 具体的には x=1〜21 の x² mod 43 は 1,4,9,16,25,36,6,21,38,14,35,15,39,23,10,41,33,27,23(361-344=17 ではない)…。x=19: 361=43·8+17 なので 17。x=18: 324=43·7+23 なので 23。x=17: 289=43·6+31 なので 31。x=16: 256=43·5+41 なので 41。x=15: 225=43·5+10 なので 10。x=14: 196=43·4+24 なので 24。x=13: 169=43·3+40 なので 40。x=12: 144-129=15。x=20: 400-387=13。x=21: 441-430=11。集合は {1,4,9,16,25,36,6,21,38,14,35,15,40,24,10,41,31,23,17,13,11} で 19 を含まない。よって -1 で一致する。