整数論の問題

ルジャンドル記号の乗法性より
$$\left(\frac{10}{19}\right)=\left(\frac{2}{19}\right)\left(\frac{5}{19}\right)$$
である。$p=19$ なので $\frac{p-1}{2}=9$ であり、オイラーの規準から $\left(\frac{a}{19}\right)\equiv a^9(\mathrm{mod}19)$ となる。

$\left(\frac{2}{19}\right)$ の計算 繰り返し二乗法で $9=8+1$ を使う。
$$2^2=4,2^4=16,2^8=256=19\times 13+9\equiv 9(\mathrm{mod}19)$$
より
$$2^9=2^8\cdot 2\equiv 9\times 2=18\equiv -1(\mathrm{mod}19).$$
よって $\left(\frac{2}{19}\right)=-1$ である。

$\left(\frac{5}{19}\right)$ の計算
$$5^2=25\equiv 6,5^4\equiv 6^2=36\equiv 17,5^8\equiv 17^2=289=19\times 15+4\equiv 4(\mathrm{mod}19)$$
より
$$5^9=5^8\cdot 5\equiv 4\times 5=20\equiv 1(\mathrm{mod}19).$$
よって $\left(\frac{5}{19}\right)=1$ である。

まとめ
$$\left(\frac{10}{19}\right)=(-1)\times 1=-1.$$
したがって $10$ は法 $19$ の平方非剰余である。

（確認）$1^2,2^2,\dots ,9^2$ を $19$ で割った余りは $1,4,9,16,6,17,11,7,5$ であり、$10$ は含まれない。

p=19, (p-1)/2=9。

(2/19) ≡ 2^9 = 512 (mod 19)。19×26 = 494 なので 512 − 494 = 18 ≡ −1。よって (2/19) = −1。

(5/19) ≡ 5^9 (mod 19)。5^2=25≡6、5^4≡36≡17≡−2、5^8≡4、5^9≡20≡1。よって (5/19) = 1。

乗法性より (10/19) = (2/19)(5/19) = (−1)(1) = −1。

検算：10^9 mod 19 を直接計算する。10^2=100≡100−95=5、10^4≡25≡6、10^8≡36≡17、10^9≡170≡170−152=18≡−1。一致する。

さらに平方剰余の確認：19 を法とする平方数は 1,4,9,16,6,17,11,7,5 であり、10 は含まれないので非平方剰余。よって −1。