整数論の問題

方針 $10=2\times 5$ と分解し、乗法性から
$$\left(\frac{10}{19}\right)=\left(\frac{2}{19}\right)\left(\frac{5}{19}\right)$$
とする。それぞれをオイラーの規準 $\left(\frac{a}{p}\right)\equiv a^{\frac{p-1}{2}}(\mathrm{mod}p)$ で計算する。$p=19$ のとき $\frac{p-1}{2}=9$ である。

$\left(\frac{2}{19}\right)$ の計算 $2^9=512$ であり、$19\times 26=494$ より $512-494=18$ なので
$$2^9\equiv 18\equiv -1(\mathrm{mod}19).$$
よって $\left(\frac{2}{19}\right)=-1$。

$\left(\frac{5}{19}\right)$ の計算 順に 2 乗していくと
$$5^2=25\equiv 6,5^4\equiv 6^2=36\equiv 17\equiv -2,5^8\equiv (-2{)}^2=4(\mathrm{mod}19).$$
したがって
$$5^9=5^8\cdot 5\equiv 4\times 5=20\equiv 1(\mathrm{mod}19).$$
よって $\left(\frac{5}{19}\right)=1$。

まとめ
$$\left(\frac{10}{19}\right)=(-1)\times 1=-1.$$
すなわち $10$ は法 $19$ の平方非剰余である。

（確認：$1^2,2^2,\dots ,9^2$ を $19$ で割った余りは $1,4,9,16,6,17,11,7,5$ であり、$10$ は含まれない。）

乗法性より $\left(\frac{10}{19}\right)=\left(\frac{2}{19}\right)\left(\frac{5}{19}\right)$。

オイラーの規準より $\left(\frac{a}{19}\right)\equiv a^9(\mathrm{mod}19)$。

(1) $a=2$：$2^4=16\equiv -3$, $2^8\equiv 9$, $2^9\equiv 18\equiv -1$。よって $\left(\frac{2}{19}\right)=-1$。

(2) $a=5$：$5^2=25\equiv 6$, $5^4\equiv 36\equiv 17\equiv -2$, $5^8\equiv 4$, $5^9\equiv 20\equiv 1$。よって $\left(\frac{5}{19}\right)=1$。

したがって $\left(\frac{10}{19}\right)=(-1)(1)=-1$。

検算：$10^9\mathrm{mod}19$ を計算する。$10^2=100\equiv 5$, $10^4\equiv 25\equiv 6$, $10^8\equiv 36\equiv 17$, $10^9\equiv 170=19\cdot 8+18\equiv 18\equiv -1$。一致する。

また、19 を法とする平方剰余は $1,4,9,16,6,17,11,7,5$ であり、10 は含まれないので非剰余であることとも一致する。