整数論の問題

方針 素数 $p$ と、$p$ で割り切れない整数 $a$ について成り立つフェルマーの小定理
$$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$$
を使い、指数を小さくしてから計算します。

手順 1：定理が使えることを確かめる
$13$ は素数で、$5$ は $13$ で割り切れません（$\gcd (5,13)=1$）。したがってフェルマーの小定理より
$$5^{12}\equiv 1(\mathrm{mod}13)$$
が成り立ちます。

手順 2：指数を $12$ で割る
$2026=12\times 168+10$ なので
$$5^{2026}={\left(5^{12}\right)}^{168}\cdot 5^{10}\equiv 1^{168}\cdot 5^{10}=5^{10}(\mathrm{mod}13)$$
となります。

手順 3：残った累乗を計算する
$5^2=25=13\times 1+12$ より $5^2\equiv 12\equiv -1(\mathrm{mod}13)$ です。よって
$$5^{10}={\left(5^2\right)}^5\equiv (-1{)}^5=-1\equiv 12(\mathrm{mod}13)$$
となります。

したがって、$5^{2026}$ を $13$ で割った余りは $12$ です。

$5^2=25\equiv -1(\mathrm{mod}13)$ なので $5^4\equiv 1(\mathrm{mod}13)$。$2026=4\cdot 506+2$ より $5^{2026}=(5^4{)}^{506}\cdot 5^2\equiv 1\cdot 25\equiv 25-13=12(\mathrm{mod}13)$。検算：フェルマーの小定理より $5^{12}\equiv 1$。$2026=12\cdot 168+10$ なので $5^{2026}\equiv 5^{10}=(5^2{)}^5\equiv (-1{)}^5=-1\equiv 12$。一致する。よって余りは 12。